Как высчитать угол по таблице брадиса. Жизнь замечательных имен

На сегодняшний день существует много вычислительных средств, которые можно применять при решении задач, как сложных, так и максимально простых. Но, тем не менее, таблицы Брадиса не менее актуальны в наши дни, чем несколько десятилетий назад. А вот как пользоваться таблицей Брадиса, знают далеко не все старшеклассники и учащиеся ВУЗов. Рассмотрим использование данных таблиц на примере решения задач со значениями синусов. Кстати, вы можете не покупать в печатном варианте данные таблицы, так как они предложены в Интернете вот по этой ссылке .

Синусы

Откройте страницу с синусами. Теперь смотрите по условию задачи, в каком измерении вам дан угол – в градусах, радианах или минутах. Дело в том, что в таблицах Брадиса даны цифры только в минутах и градусах. Поэтому, если значение вашего угла отличается, то необходимо перевести его в градусы или минуты. Перевести угол из радиан в градусы можно, используя формулу a=b*180°/π, где b - величина угла в радианах, а α - в градусах.

Таблица представляет собой ряды, расположенные как по вертикали, так и по горизонтали. В самом крайнем ряду слева, в его левом углу стоит «sin». Далее, под ним расположены цифры в столбик (они с обозначением градусов). Это целые величины градусов. Находите необходимый вам целый показатель угла, а затем в верхней строчке ищите число, соответствующее дробному показателю угла. На пересечении столбца и строки будет значение, которое вам необходимо.

Минуты

Если вы будете пользоваться таблицей Брадиса в минутах, то они указаны в таблице не подряд, а через 6. То есть, чтобы найти угол с величиной, кратной цифре «6», может использоваться таблица Брадиса. Косинусы, как пользоваться таблицей, если, например, дан угол в минутах, величиной 19? Для этого используйте поправки, находящиеся в правой стороне таблицы на странице «Косинусы». Необходимо найти разницу между ближайшим кратным «6» числом и данной величиной угла. При разности от 1 до 3 приплюсовывается найденное значение к последней цифре величины косинуса меньшего угла, а при разности 4 или 5, отнимите от последней цифры большего угла значение поправки.

Как пользоваться таблицей Брадиса? July 13th, 2013

Советские инженеры постепенно становятся легендой. Многим нынешним обладателям инженерного диплома кажется невероятным, что эти ребята за нищенскую, в общем, зарплату строили гигантские заводы, прокладывали железные дороги и конструировали самолеты и ракеты, которые взлетали и летали, а также корабли, которые бороздили... И делали они это едва ли не с пустыми руками. Что было инструментом советского инженера? Кульман, ватман, карандаш, логарифмическая линейка да таблицы Брадиса.

Математик Владимир Модестович Брадис (1890 - 1975) еще в начале 20-го века придумал способ, позволяющий до минимума сократить утомительные расчеты, которые приходилось производить каждому инженеру до появления калькуляторов. Он выбрал несколько наиболее необходимых для практических расчетов функций и посчитал все их значения в широком интервале аргументов с приемлемой точностью, четыре значащих цифры. Результаты своих расчетов В.М.Брадис представил в виде таблиц. Функции, отобранные В.М.Брадисом для расчетов, были следующие: квадраты и кубы, квадратные и кубические корни, обратная функция 1/x, тригонометрические функции (синусы, косинусы, тангенсы), экспонента и логарифмы Для каждой функции была рассчитана своя таблица. Все таблицы были напечатаны в виде небольшой брошюры. Эта брошюра в советское время переиздавалась едва ли не ежегодно и была очень востребована.

Таблицы Брадиса имеют одинаковую для всех функций структуру. Значения аргументов находятся в левом столбце и в верхней колонке. Соответствующее значение функции расположено в клетке, находящейся на пересечении столбца и колонки, которые задают значение аргумента.

Возьмем для примера таблицу синусов. Допустим, следует определить, чему равно значение синуса для угла 10 градусов и 30 минут. Находим в левом столбце значение 10 градусов (11-я строка), а в верхней колонке - 30 минут (6-й столбец). На пересечении 11 строки и 6-го столбца, находим значение функции, 0.1822. Три последних столбца предназначены для уточнения значений минут. Дело в том, что в верхней колонке значения представлены только значения минут, кратные 6. Для определения синуса для других значений аргумента следует прибавить или вычесть поправку из ближайшего значения функции, представленного в таблице. Например, для угла 10 градусов и 32 минуты к уже найденному значению 0.1822 следует прибавить поправку из второго столбика, 6. Итак, синус 10 градусов 32 минут будет равен 0.1822+0.0006=0.1828.

Поскольку синус и косинус, тангенс и котангенс для данного угла взаимосвязаны, по таблице синусов можно определять и значения косинусов, а по таблице тангенсов - значения котангенсов. Но аргумент для косинуса и для котангенса следует искать в правом столбце (четвертом справа) и в нижней строке.

Аргументы тригонометрических функций в таблицах Брадиса заданы в градусах. Для перевода градусов в радианы значение угла следует умножить на 180 и разделить на 3.1415926. Кстати, таблицы радианной меры угла тоже были сосчитаны В.М.Брадисом и их можно отыскать в брошюре.

Как видим, таблицы В.М.Брадиса позволяют определять четыре значащих цифры любой функции. Поэтому они называются «четырехзначными». Такой точности расчетов заведомо хватает для 90% инженерных расчетов.

В настоящее время, когда калькуляторы есть и в часах, и в мобильных телефонах, расчеты функций по таблицам Брадиса можно считать «пережитком прошлого». Но, скажем честно, славного прошлого. Большое ведь видится на расстоянии. И

Каждая таблица Брадиса дает значения какой-либо величины (функции) в зависимости от значения некоторой другой величины (аргумента). На-пример, таблица 3 дает значения квадрата в зависимости от значений возводимого в квадрат числа (функция у = х 2 аргумента х), таблица 7 - значения площади круга в зависимости от значений его диаметра (функция К = πd 2 /4 аргумента d) и т. д. Ради экономии места все таблицы сборника расположены «в два хода»: каждое табличное значение функции находится на пересечении строки, имеющей в заголовке (слева) некоторые первые цифры соответствующего назначения аргумента, и столбца, имею-щего в заголовке (сверху) остальные его цифры. Например, для квадрата числа 5,67 находим в таблице 3 на строке 5,6 в столбце 7 значение 32,15, представляющее со-бой результат округления до 4 значащих цифр точного квадрата 5,67 2 = 32,1489.

Все табличные значения функций, приведенные в сборнике, получены путем ок-ругления до 4 или 5 значащих цифр соответствующих точных значений, а потому от-личаются от точных не более как на половину единицы разряда последней цифры. Например, найдя из таблицы 7, что площадь круга диаметра 2,16 линейных единиц равна 3,664 соответствующих квадратных единиц (строка 2,1, столбец 6), мы можем быть уверены, что точное значение этой площади отличается от этой таб-личной не больше чем на половину тысячной, то есть что 3,6635 < К < 3,6645. Вычис-ление, проведенное точнее (без таблиц), дает К - 3,66435....

Значения аргумента в каждой таблице равномерно растут (по крайней мере в не-котором интервале), и постоянное значение разности двух соседних значений аргу-мента носит название «ступени» таблицы. Так, в таблице 3 ступень везде 0,01, а в таблице 4 сперва 0,01, потом 0,1. Значения функции в большинстве таблиц тоже растут, но равномерным их рост оказывается только для линейных функций, т. е. функций вида у = ах + Ь, где а и Ь - постоянные. Увеличение х на ступень h дает у та-ких функций увеличение функции на постоянное число ah. Например, при увеличе-нии диаметра на 0,01 длина окружности С = πd увеличивается на 0,01π = 0,0314.... Просматривая табличные значения длины окружности , замечаем, что при возрастании d на 0,01 они возрастают то на 31, то на 32 тысячных. Это небольшое колебание вызвано приближенным характером табличных значений.

Разность двух соседних табличных значений функции называется «табличной разностью». Имея дело с таблицей функции, изменяющейся неравномерно, следует различать два случая: случай «почти равномерного» изменения функции, когда таб-личные разности изменяются очень медленно, и случай «резко неравномерного» ее изменения, когда уже соседние табличные разности отличаются друг от друга на не-сколько единиц последнего разряда. Так, в таблице кубов 1 3 = 1, 2 3 = 8, 3 3 - 27, 4 3 = 64,... мы имеем пример таблицы с резко неравномерным изменением функции, но если ту же таблицу кубов взять со ступенью не в 1, а в 0,001 и округлять кубы до 4 зна-чащих цифр, то получится таблица с почти равномерным изменением функции, ко-торую мы и имеем, где на протяжении всей строки 1,00 табличные раз-ности равны 3 (тысячным), а на нескольких следующих - то 3, то 4. Различие между таблицами с равномерным, почти равномерным и резко неравномерным изменением функции проявляется особенно наглядно при изображении этих функций посред-ством графиков в прямоугольных координатах: в первом случае получается график в виде прямой, во втором - в виде кривой, небольшие участки которой искривлены едва заметно, в третьем - в виде кривой с заметной кривизной уже на каждом малом участке. Одна и та же таблица может быть таблицей с почти равномерным изменени-ем функции на одном интервале и с резко неравномерным ее изменением на другом. Такова, например, таблица 10 , где на передних строках изменение функ-ции резко неравномерно. Имея таблицу с резко неравномерным изменением функ-ции, можно превратить ее в таблицу с почти равномерным изменением двумя спосо-бами: уменьшением ступени таблицы, то есть заменой ее другой, более подробной, что делается не так просто (надо либо иметь такую более подробную таблицу, либо за-ново ее составить), или округлением табличных значений, что делается очень просто, но связано с потерей точности. Например, тангенсы углов, указанные в таблице 10 на строке 89°20" с точностью до сотых и изменяющиеся резко неравномерно, после округления до десятых становятся изменяющимися почти равномерно.

Каждая таблица содержит значения функции не для всех, а лишь для некоторых значений аргумента. Возникает вопрос: как получить значения функции для проме-жуточных значений аргумента? Операция получения таких значений носит название «интерполяции». Ее иногда образно называют «чтением между строками таблицы».

В случае таблицы с равномерным или почти равномерным изменением функции применяется так называемая «линейная интерполяция», состоящая в следующем. Ес-ли при увеличении значения аргумента на И единиц какого-либо разряда функция увеличивается на d единиц некоторого разряда, то в силу равномерности изменения функции увеличение аргумента на 1 вызывает увеличение функции на d/h единиц, а увеличение аргумента на u - увеличение функции на v = du/h единиц. Очевидно, что для получения искомого значения функции надо взять ближайшее меньшее таблич-ное ее значение и прибавить эту «поправку» v. Например, чтобы узнать, чему равен квадрат числа 8,053, берем в таблице 3 8,05 2 = 64,80, 8,06 2 = 64,96, 8,07 2 = 65,12 и убеждаемся, что изменение функции здесь почти равномерно: при ступени h = 0,01 или 10 тысячным табличная разность составляет здесь 16 сотых. Данное значение ар-гумента 8,053 превосходит ближайшее меньшее табличное его значение 8,05 на u = 3 (тысячным), а потому поправка v равна 16·3/10 = 4,8 = 5 (сотым). Прибавив ее к бли-жайшему меньшему табличному значению функции 8,05 2 = 64,80, получим 8,053 2 = = 64,80 + 0,05 = 64,85 (непосредственное умножение дает точно 8,053 2 = 64,850809).

Вместо того чтобы брать поправку на «избыток» данного значения аргумента над ближайшим меньшим табличным его значением, как мы это только что делали, мож-но дать поправку на его «недостаток» по сравнению с ближайшим большим таблич-ным его значением и вычитать поправку из ближайшего большего значения функ-ции. Например, для получения квадрата числа 8,057 берем 8,06 2 = 8,060 2 = 64,96 и вы-читаем поправку на 3 тысячных, равную 5 сотым, получая 8,057 2 = 64,91 (при точном значении, равном 64,915249). Поправка на избыток выгоднее, если избыток не пре-восходит половины ступени; в противном случае выгоднее брать поправку на недо-статок.

Операцию линейной интерполяции можно объяснять, исходя не из равномер-ности изменения функции, как мы это сейчас делали, а из пропорциональности при-ращений аргумента и функции, т. е. из пропорциональности избытка аргумента и по-правки для функции, прекрасно иллюстрируемой на графике, где получаются два по-добных прямоугольных треугольника, один с катетами h и d, другой с катетами u и v. По существу, оба способа, конечно, тождественны, так как оба основаны на одной и той же пропорции u:v=h:d.

Какова точность результатов, получаемых посредством линейной интерполяции? Здесь имеются три источника погрешностей: неточность взятого ближайшего таблич-ного значения функции, не превосходящая половины единицы разряда последней его цифры; неточность поправки, обусловленная неточностями табличных значений и округлением поправки, и, наконец, неточность поправки, вызванная неполной равномерностью изменения функции. Более глубокое рассмотрение вопроса показы-вает, что при разнице двух соседних значений табличной разности, не превосходящей 4 единиц, третий источник погрешности сколько-нибудь заметного влияния не име-ет, и общая погрешность результата линейной интерполяции лишь в исключительно редких случаях может немного превзойти единицу разряда последней цифры. Это за-ключение легко проверяется на опыте. Например, пользуясь таблицей квадратов , нахо-дим, применяя линейную интерполяцию, квадраты чисел, приведенных ниже в пер-вой строке, и пишем их во второй строке, а в третьей строке помещаем соответствую-щие точные квадраты, округленные до четвертого десятичного знака, в четвертой же - разности чисел второй и третьей строк, выраженные в сотых долях.

Как видим, погрешности интерполированных значений нигде не превосходят единицы разряда последней цифры.

Чтобы облегчить выполнение линейной интерполяции, в большинстве таблиц настоящего сборника даны «готовые поправки» в столбцах справа, набранные курси-вом. Если табличные разности мало меняются на протяжении целой строки, то по-правки по формуле v = du/h можно вычислить для всех чисел строки. Например, для строки 8,0 таблицы квадратов поправка на 0,001 в начале строки равна (8,01 2 - 8,00 2):10 = 0,01601, или 1,601 (сотых), а на конце ее (8,102 - 8,092): 10 = 0,01619, или 1,619, а в среднем 1,610 (сотых). Умножая эту среднюю поправку на числа от 1 до 9, получаем 1,61; 3,22; 4,83; 6,44; 8,05; 9,66; 11,27; 12,88; 14,49 или после округления до целых 2; 3; 5; 6; 8; 10; 11; 13; 14.

Именно эти числа и приведены на строке 8,0 таблицы квадратов справа (набраны курсивом). Как показывает опыт, применение этих готовых поправок сберегает до 50% времени, затрачиваемого на работу с таблицами.

Если табличные разности на протяжении строки меняются более заметно, гото-вые поправки приходится вычислять для частей строки, как это сделано, например, в таблице 9 для строк 73°, 74°, 75° или для нескольких первых строк таблицы мантисс логарифмов . Если изменение табличных разностей на протя-жении строки выражено еще резче, от готовых поправок приходится отказаться. В та-ких случаях операцию линейной интерполяции приходится проводить полностью, находя h, d, u, v = du/h, как, например, в таблице 15 и нескольких других.

При большой табличной разности поправку следует вводить не только на первую цифру избытка, но и на вторую, если она имеется, уменьшая приведенные в таблице го-товые поправки в 10 раз. Так, чтобы найти 2,9345 2 , в таблице 3 берется 2,93 2 = 8,585 и прибавляется поправка на 4 тысячных, равная 24 (тысячным), а затем поправка на 5 де-сятитысячных, равная 29:10 = 3 (тысячным), и получается окончательно 8,612 (непо-средственное умножение дает 8,61129...).

Как мы уже видели, если избыток данного значения аргумента больше половины ступени, выгоднее пользоваться ближайшим большим значением функции, отнимая от него поправку на недостаток данного значения аргумента по сравнению с ближай-шим большим его значением. Поэтому во всех таблицах, где аргументом служит угол и где ступень равна 6", готовые поправки даны только на 1", 2", 3". Если избыток со-ставляет 4" или 5", надо брать поправку на 2" или 1", вычитая ее из ближайшего боль-шего значения функции. Кроме экономии места, занимаемого таблицей, это дает не-который выигрыш в точности получаемых результатов, так как малые поправки точнее больших.

Необходимо решительно предостеречь от применения линейной интерполяции в случае резко неравномерного изменения функции. Всякий раз, когда готовые по-правки не даны, а нужно интерполировать, следует выяснить, насколько равномерен ход функции, и применять линейную интерполяцию лишь в том случае, когда со-седние табличные разности мало отличаются друг от друга (не больше чем на 4 единицы), а в противном случае искать других путей. Так, например, желая найти lg sin 1°04"36", берем в таблице 15 , где готовых поправок нет, lg sin 1°04" - 2,2699, lg sin 1°05" = 2,2766, lg sin 1°06" = 2,2832 и убеждаемся, что линейная интерполяция здесь допустима, так как табличные разности равны 67 и 66. Вычисляя v = 67·36/60 = 40,2 = 40 и прибавляя эту поправку к табличному логарифму 2,2699, получаем lg sin 1°04"36" = 2,2739 (по семизначным таблицам получается 2,2739331). Но если на-до получить lg sin 0°05"30" и мы применим тот же способ линейной интерполяции, то получим lg sin 0°05" = 3,1627, d = 792, h =60", u = 30", v = 792/60 · 30 = 396, lg sin 0°05"30" =60= 3,2023, в то время как более точное значение этого логарифма, найденное по семи-значным таблицам, есть 3,2040886. Недопустимо большая погрешность нашего ре-зультата обусловлена резко неравномерным изменением функции: рядом с использо-ванной нами табличной разностью 792 находится разность 669, линейная интерполя-ция здесь недопустима. Здесь можно воспользоваться тем обстоятельством, что при очень малых углах синус весьма мало отличается от радианной меры (меньше чем на шестую часть куба этой радианной меры). В таблице 11 берем радианную меру уг-ла в 5", равную 0,0014544, а также угла в 30", равную 0,00014544, и, складывая, получа-ем число 0,0015998, представляющее собой приближенное значение sin 0°05"30" с 7 точными десятичными знаками. Найдя по таблице 13 его логарифм, получаем 3,2041, т. е. как раз то, что надо.

Во многих случаях таблицы дают непосредственно значения функции лишь в од-ном ограниченном интервале значений аргумента, но путем несложных дополни-тельных расчетов, производимых обычно в уме, можно существенно расширить этот интервал. Так обстоит дело с таблицами квадратов, кубов, обратных значений и ряда других. Возьмем, например, таблицу 7 , дающую непосредственно значения площа-ди круга с диаметром от d = 1 до d = 10, замечая, что при увеличении диаметра круга в 10 раз его площадь увеличивается в 10 2 = 100 раз, мы можем по этой же таблице нахо-дить площадь круга любого диаметра. Например, желая найти площадь круга диа-метра d = 49,52, находим по таблице сперва площадь круга диаметра 4,952 (стро-ка 49, столбец 5, поправка на 2), равную 19,26, а затем увеличиваем этот результат в 100 раз и получаем окончательно 1926. Чтобы найти площадь круга с диаметром d = 0,04567, получаем сперва площадь круга диаметра 4,567 (строка 45, столбец 7, вычитается поправка на 3), равную 16,38, потом уменьшаем ее в 100 2 = 10000 раз и получаем 0,001638.

Разобрав во всех деталях вопрос о разыскании посредством таблиц значения функции по данному значению ее аргумента, то есть так называемый «прямой воп-рос», переходим к «обратному вопросу», когда по данному значению той функции, для которой таблица составлена, надо найти соответствующее значение аргумента.

Если данное значение функции имеется в таблице, все дело сводится к выписы-ванию соответствующего значения аргумента. Если же данного значения функции в таблице нет, то пользуются той же операцией линейной интерполяции, внеся в нее надлежащие изменения и предварительно убедившись в ее допустимости. Берут бли-жайшее меньшее табличное значение функции и находят, сколько надо добавить к со-ответствующему значению аргумента, чтобы довести это ближайшее меньшее значе-ние функции до данного. Здесь используется та же пропорция u:v = h:d, что и рань-ше, с той лишь разницей, что теперь у дано, и ищем а по формуле u = hv/d. Так, чтобы найти с помощью таблицы квадратов число, квадрат которого равен 4,235, т. е. квад-ратный корень из числа 4,235, берут ближайший меньший и ближай-ший больший табличные квадраты 4,203 = 2,05 2 и 4,244 = 2,06 2 . Здесь ступень h = 10 (тысячным), табличная разность d = 41 (тысячной), следующая табличная разность то-же 41, линейная интерполяция допустима. Чтобы довести ближайшее меньшее таблич-ное значение до данного, надо увеличить это ближайшее на 4,235 - 4,203 = 0,032, отку-да v = 32 (тысячным). Поэтому u = 10·32/41 =8 и искомый корень равен 2,050 + 0,008 = 2,058. Можно взять не ближайшее меньшее, а ближайшее большее значение функ-ции и уменьшать его до данного, выясняя, каково соответствующее уменьшение бли-жайшего большего значения аргумента. В данном примере соответственно этому бе-рем 4,244 - 4,235 = 0,009, т. е. и = 9 (тысячным), и находим u = 10·9/41 ≈ 2, а затем ис-комый корень 2,060 - 0,002 = 2,058. Вообще, лучше пользоваться тем из ближайших табличных значений функции, какое ближе к искомому.

Применение готовых поправок и здесь существенно облегчает работу: найдя раз-ность между данным значением функции и ближайшим табличным ее значением (меньшим или большим), смотрим, какая поправка из напечатанных курсивом на той же строке ближе всего к этой разности, и берем цифру, находящуюся в заголовке со-ответствующего столбца. Для получения квадратного корня из числа 4,235 достаточ-но заметить, что это число отличается от ближайшего меньшего табличного квадрата на 32 (тысячных) и что среди поправок, напечатанных на этой же строке, ближайшей к этому числу 32 является 33. Прибавив к соответствующему табличному значению аргумента 2,05 число 8 (тысячных), взятое из заголовка этого столбца поправок, по-лучаем окончательно 2,05 + 0,008 = 2,058. Если взять ближайшее большее значение функции (4,244), то получается разность 4,244 - 4,235 = 0,009. В столбцах поправок находим ближайшую цифру 8 в столбце 2 и выполняем вычитание 2,06 - 0,002, при-водящее к тому же результату 2,058.

Вопрос о точности, с какой обратная линейная интерполяция дает искомое зна-чение функции, довольно сложен. Оказывается, что здесь возможны самые различ-ные случаи и что результат здесь тем более точен, чем больше табличная разность (предполагается, что линейная интерполяция допустима). Например, если дано при-ближенное значение sin А = 0,9997 с 4 точными десятичными знаками, то в таблице 8 мы находим целых три угла с таким синусом (88°30", 88°36", 88°42"). Полагая А = 88°36", надо иметь в виду, что это значение искомого угла весьма неточно: оно мо-жет отличаться от точного до 9". Если же sin A = 0,1070, то находимое по таблице 8 с помощью готовых поправок значение 6°08" отличается от точного, как можно пока-зать, не больше чем на 1": применение способа границ приводит к заключению, что 6°08" < А < 6°09".

Итак, каждая таблица служит не только для получения значений той функции, для которой она составлена, но и для получения значений аргумента, т. е. для получе-ния значений обратной функции: по таблице квадратов можно находить и квадрат-ные корни, по таблице логарифмов - антилогарифмы и т. д. Однако опыт показыва-ет, что решение обратного вопроса требует несколько большей затраты труда, чем решение прямого, а потому в настоящем сборнике наряду с таблицей логарифмов по-мещена таблица антилогарифмов, наряду с таблицей квадратов - таблица квадрат-ных корней, хотя можно было бы обойтись и без них.

До сих пор речь шла только о таблицах возрастающих функций. Легко видеть, как изменяется способ пользования таблицей, если функция убывает, как например, в таблице 2 , дающей значения дробей вида 1/и, или в таблице 8 при разыскании косинусов. При работе с таблицей возрастающей функции ошибки от недостаточного внимания случаются реже, а потому можно рекомендовать заменять подыскание ко-синусов подысканием синусов дополнительных углов, подыскание котангенсов - подысканием тангенсов дополнительных углов.

Таблицы настоящего сборника, вообще говоря, обеспечивают получение иско-мых значений с 4, иногда с 5 значащими цифрами. Но бывают особо неблагоприят-ные случаи вычислений (вычитание из приближенного числа другого приближенного числа, близкого к первому, возведение приближенного числа в степень с большим показателем и т. д.), когда окончательный результат получается с меньшей точно-стью. Если точность результата требуется большая, надо либо обратиться к более под-робной таблице (пятизначной, семизначной и т.д.), либо проводить вычисление не-посредственно, что не представляет непреодолимых трудностей при возведении в степень, извлечении корня и некоторых других операциях. Ниже приведены некото-рые «ряды», позволяющие находить с произвольно высокой точностью значения ло-гарифмов, антилогарифмов, синусов, косинусов, тангенсов, корней квадратных и ку-бических.

Как возникли таблицы Брадиса

Современные школьники, студенты и научные сотрудники практически не представляют своей работы без компьютера или калькулятора. Привычка к пользованию электронной техникой настолько глубоко вошла в обычную жизнь, что никто даже не удивляется тому, что эти устройства мгновенно выдают очень точные значения довольно сложных функций. А, например, еще в 30-х годах прошлого века избежать долгих и утомительных вычислений значений тригонометрических функций было практически невозможно. Численные методы позволяют определить значение любой функции, используя ее разложение в степенной ряд. Но этот способ довольно трудоемок и обладает высокой точностью, которая далеко не всегда нужна на практике. Владимир Модестович Брадис предложил способ вычисления тригонометрических функций, который до минимума сократил утомительные расчеты. Он выбрал наиболее часто используемые в инженерных расчетах функции, выполнил расчет их значений в достаточно широком интервале аргументов и представил конечный результат в виде таблиц, которые издавались ежегодно на протяжении нескольких десятилетий.

Что собой представляют таблицы Брадиса

"Четырехзначные математические таблицы" Брадиса представляют собой небольшую брошюру, в которой собраны значения таких тригонометрических функций как синус, косинус, тангенс и котангенс для различных значений аргумента. Стоит отметить, что синусы и косинусы рассчитываются с помощью одной части таблицы, а тангенсы и котангенсы – с помощью другой. Это обусловлено основными тригонометрическими соотношениями, которые связывают между собой данные пары функций.

Каждая таблица имеет стандартную структуру: аргументы первой строки и первой колонки соответствуют одной функции из пары (синус или тангенс), аргументы четвертого от конца столбца и последней строки соответствуют второй функции (косинус или котангенс). В столбцах располагаются целые градусы, а в строках – значения минут, чтобы можно было определить точное значение функции для нецелого аргумента. На пересечении строки и столбца располагается значение функции с точностью до четырех знаков после запятой.

Последние три столбца предназначены для того, чтобы можно было найти значение функции, у которой аргумент не кратен шести. В них находятся поправки, которые следует прибавлять или вычитать из значения функции, рассчитанного для угла, ближайшего к искомому и кратного 6 минутам. В некоторых таблицах для расчета тангенсов и котангенсов значения даны с шагом в одну минуту. В этом случае три последних поправочных столбца отсутствуют, и поэтому необходимые значения аргумента для котангенса надо смотреть в последней строке и последнем столбце.

Как вычислять значения функций с помощью таблиц Брадиса?

Разобраться с тем, как пользоваться таблицей Брадиса не так уж сложно. Надо просто вдумчиво прочитать инструкцию, попробовать тестовые расчеты на готовых примерах и после этого уже переходить к самостоятельным вычислениям.

Для таблиц Брадиса в качестве аргумента функций используется значение угла, заданное в градусах. Если же значение аргумента дано в радианах, то для перевода в градусы его следует умножить на 180 и разделить на 3.1415926.

Затем для интересующей функции (например, синус) выбрать строку и столбец с аргументами (первая часть таблиц, первый столбец и первая строка). В столбце нужно найти значение, которое соответствует целому числу градусов в аргументе, а в строке – количество минут. На пересечении полученных строки и столбца находится искомое значение функции.

Стоит обратить внимание, что если угол имеет количество минут, не кратное шести, то вычисления следует проводить для ближайшего к нему значения (из имеющихся в таблице). После этого надо вычислить разницу между заданным аргументом и используемым для расчетов. Эта разница должна составлять одну, две или три минуты. Соответственно полученному значению разницы в одном из трех последних столбцов таблицы Брадиса нужно взять поправочное значение. Если разница положительна, то поправочное значение нужно прибавить к последней цифре уже имеющегося расчетного, а если отрицательна, то вычесть.

Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что "... дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось... к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса... " [Википедия, " Апории Зенона "]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие "бесконечность" в этой ситуации, то правильно будет говорить "Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху".

Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию "Ахиллес и черепаха" очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто - достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве - это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

среда, 4 июля 2018 г.

Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

Как видите, "во множестве не может быть двух идентичных элементов", но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется "мультимножество". Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова "совсем". Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

Как бы математики не прятались за фразой "чур, я в домике", точнее "математика изучает абстрактные понятия", есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его "математическое множество зарплаты". Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

В первую очередь, сработает логика депутатов: "к другим это применять можно, ко мне - низьзя!". Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами - на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально...

А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует - всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова - значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов - у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких "мыслимое как не единое целое" или "не мыслимое как единое целое".

воскресенье, 18 марта 2018 г.

Сумма цифр числа - это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу "Сумма цифр числа". Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры - это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: "Найти сумму графических символов, изображающих любое число". Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы - элементарно.

Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки - это не математическое действие.

3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот "курсы кройки и шитья" от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых - нет. Реальность состоит не только из чисел.

Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

Ой! А это разве не женский туалет?
- Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

Женский... Нимб сверху и стрелочка вниз - это мужской.

Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

1А - это не "минус четыре градуса" или "один а". Это "какающий человек" или число "двадцать шесть" в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.