Криптографическая хеш-функция. Что такое хеш и для чего он нужен
Хэш-алгоритмы
- Информационная безопасность
Как я полагаю, многим известно о том, что с 2007 года Национальный институт стандартов и технологий США (NIST) проводит конкурс на разработку хэш-алгоритма для замены SHA-1, и семейства алгоритмов SHA-2. Однако данная тема, почему-то обделена вниманием на сайте. Собственно это и привело меня к вам. Предлагаю вашему вниманию цикл статей, посвященных хэш-алгоритмам. В этом цикле мы вместе изучим основы хэш-функций, рассмотрим самые именитые хэш-алгоритмы, окунемся в атмосферу конкурса SHA-3 и рассмотрим алгоритмы, претендующие на победу в нем, обязательно их потестируем. Так же по возможности будут рассмотрены российские стандарты хеширования.
О себе
Студент кафедры информационной безопасности.О хэшировании
В настоящее время практически ни одно приложение криптографии не обходится без использования хэширования.Хэш-функции – это функции, предназначенные для «сжатия» произвольного сообщения или набора данных, записанных, как правило, в двоичном алфавите, в некоторую битовую комбинацию фиксированной длины, называемую сверткой. Хэш-функции имеют разнообразные применения при проведении статистических экспериментов, при тестировании логических устройств, при построении алгоритмов быстрого поиска и проверки целостности записей в базах данных. Основным требованием к хэш-функциям является равномерность распределения их значений при случайном выборе значений аргумента.
Криптографической хеш-функцией называется всякая хеш-функция, являющаяся криптостойкой, то есть удовлетворяющая ряду требований специфичных для криптографических приложений. В криптографии хэш-функции применяются для решения следующих задач:
- построения систем контроля целостности данных при их передаче или хранении,
- аутентификация источника данных.
Хэш-функцией называется всякая функция h:X -> Y , легко вычислимая и такая, что для любого сообщения M значение h(M) = H (свертка) имеет фиксированную битовую длину. X - множество всех сообщений, Y - множество двоичных векторов фиксированной длины.
Как правило хэш-функции строят на основе так называемых одношаговых сжимающих функций y = f(x 1 , x 2)
двух переменных, где x 1
, x 2
и y
- двоичные векторы длины m
, n
и n
соответственно, причем n
- длина свертки, а m
- длина блока сообщения.
Для получения значения h(M)
сообщение сначала разбивается на блоки длины m
(при этом, если длина сообщения не кратна m
то последний блок неким специальным образом дополняется до полного), а затем к полученным блокам M 1 , M 2 ,.., M N
применяют следующую последовательную процедуру вычисления свертки:
H o = v,
H i = f(M i ,H i-1), i = 1,.., N,
h(M) = H N
Здесь v
- некоторая константа, часто ее называют инициализирующим вектором. Она выбирается
из различных соображений и может представлять собой секретную константу или набор случайных данных (выборку даты и времени, например).
При таком подходе свойства хэш-функции полностью определяются свойствами одношаговой сжимающей функции.
Выделяют два важных вида криптографических хэш-функций - ключевые и бесключевые. Ключевые хэш-функции называют кодами аутентификации сообщений. Они дают возможность без дополнительных средств гарантировать как правильность источника данных, так и целостность данных в системах с доверяющими друг другу пользователями.
Бесключевые хэш-функции называются кодами обнаружения ошибок. Они дают возможность с помощью дополнительных средств (шифрования, например) гарантировать целостность данных. Эти хэш-функции могут применяться в системах как с доверяющими, так и не доверяющими друг другу пользователями.
О статистических свойствах и требованиях
Как я уже говорил основным требованием к хэш-функциям является равномерность распределения их значений при случайном выборе значений аргумента. Для криптографических хеш-функций также важно, чтобы при малейшем изменении аргумента значение функции сильно изменялось. Это называется лавинным эффектом.
К ключевым функциям хэширования предъявляются следующие требования:
- невозможность фабрикации,
- невозможность модификации.
Первое требование означает высокую сложность подбора сообщения с правильным значением свертки. Второе - высокую сложность подбора для заданного сообщения с известным значением свертки другого сообщения с правильным значением свертки.
К бесключевым функциям предъявляют требования:
- однонаправленность,
- устойчивость к коллизиям,
- устойчивость к нахождению второго прообраза.
Под однонаправленностью понимают высокую сложность нахождения сообщения по заданному значению свертки. Следует заметить что на данный момент нет используемых хэш-функций с доказанной однонаправленностью.
Под устойчивостью к коллизиям понимают сложность нахождения пары сообщений с одинаковыми значениями свертки. Обычно именно нахождение способа построения коллизий криптоаналитиками служит первым сигналом устаревания алгоритма и необходимости его скорой замены.
Под устойчивостью к нахождению второго прообраза понимают сложность нахождения второго сообщения с тем же значением свертки для заданного сообщения с известным значением свертки.
Это была теоретическая часть, которая пригодится нам в дальнейшем…
О популярных хэш-алгоритмах
Алгоритмы CRC16/32 - контрольная сумма (не криптографическое преобразование).
Алгоритмы MD2/4/5/6
. Являются творением Рона Райвеста, одного из авторов алгоритма RSA.
Алгоритм MD5 имел некогда большую популярность, но первые предпосылки взлома появились еще в конце девяностых, и сейчас его популярность стремительно падает.
Алгоритм MD6 - очень интересный с конструктивной точки зрения алгоритм. Он выдвигался на конкурс SHA-3, но, к сожалению, авторы не успели довести его до кондиции, и в списке кандидатов, прошедших во второй раунд этот алгоритм отсутствует.
Алгоритмы линейки SHA Широко распространенные сейчас алгоритмы. Идет активный переход от SHA-1 к стандартам версии SHA-2. SHA-2 - собирательное название алгоритмов SHA224, SHA256, SHA384 и SHA512. SHA224 и SHA384 являются по сути аналогами SHA256 и SHA512 соответственно, только после расчета свертки часть информации в ней отбрасывается. Использовать их стоит лишь для обеспечения совместимости с оборудованием старых моделей.
Российский стандарт - ГОСТ 34.11-94 .
В следующей статье
Обзор алгоритмов MD (MD4, MD5, MD6).
Литература
А. П. Алферов, Основы криптографии.
Брюс Шнайер, Прикладная криптография.
Аннотация: В этой лекции сформулировано понятие хеш-функции, а также приведен краткий обзор алгоритмов формирования хеш-функций. Кроме того, рассмотрена возможность использования блочных алгоритмов шифрования для формирования хеш-функции.
Цель лекции: познакомиться с понятием "хеш-функция", а также с принципами работы таких функций.
Понятие хеш-функции
Хеш-функцией (hash function) называется математическая или иная функция, которая для строки произвольной длины вычисляет некоторое целое значение или некоторую другую строку фиксированной длины. Математически это можно записать так:
где М – исходное сообщение, называемое иногда прообразом , а h – результат, называемый значением хеш-функции (а также хеш-кодом или дайджестом сообщения (от англ. message digest )).
Смысл хеш-функции состоит в определении характерного признака прообраза – значения хеш-функции. Это значение обычно имеет определенный фиксированный размер, например, 64 или 128 бит. Хеш-код может быть в дальнейшем проанализирован для решения какой-либо задачи. Так, например, хеширование может применяться для сравнения данных: если у двух массивов данных хеш-коды разные, массивы гарантированно различаются; если одинаковые - массивы, скорее всего, одинаковы. В общем случае однозначного соответствия между исходными данными и хеш-кодом нет из-за того, что количество значений хеш-функций всегда меньше, чем вариантов входных данных. Следовательно, существует множество входных сообщений, дающих одинаковые хеш-коды (такие ситуации называются коллизиями ). Вероятность возникновения коллизий играет немаловажную роль в оценке качества хеш-функций.
Хеш-функции широко применяются в современной криптографии.
Простейшая хеш-функция может быть составлена с использованием операции "сумма по модулю 2" следующим образом: получаем входную строку, складываем все байты по модулю 2 и байт-результат возвращаем в качестве значения хеш-фукнции. Длина значения хеш-функции составит в этом случае 8 бит независимо от размера входного сообщения.
Например, пусть исходное сообщение, переведенное в цифровой вид, было следующим (в шестнадцатеричном формате):
Переведем сообщение в двоичный вид, запишем байты друг под другом и сложим биты в каждом столбике по модулю 2:
0011 1110 0101 0100 1010 0000 0001 1111 1101 0100 ---------- 0110 0101
Результат (0110 0101 (2) или 65 (16) ) и будет значением хеш-функции.
Однако такую хеш-функцию нельзя использовать для криптографических целей, например для формирования электронной подписи, так как достаточно легко изменить содержание подписанного сообщения, не меняя значения контрольной суммы.
Поэтому рассмотренная хеш-функция не годится для криптографических применений. В криптографии хеш-функция считается хорошей, если трудно создать два прообраза с одинаковым значением хеш-функции, а также, если у выхода функции нет явной зависимости от входа.
Сформулируем основные требования, предъявляемые к криптографическим хеш-функциям:
- хеш-функция должна быть применима к сообщению любого размера;
- вычисление значения функции должно выполняться достаточно быстро;
- при известном значении хеш-функции должно быть трудно (практически невозможно) найти подходящий прообраз М ;
- при известном сообщении М должно быть трудно найти другое сообщение М’ с таким же значением хеш-функции, как у исходного сообщения;
- должно быть трудно найти какую-либо пару случайных различных сообщений с одинаковым значением хеш-функции.
Создать хеш-функцию, которая удовлетворяет всем перечисленным требованиям – задача непростая. Необходимо также помнить, что на вход функции поступают данные произвольного размера, а хеш-результат не должен получаться одинаковым для данных разного размера.
В настоящее время на практике в качестве хеш-функций применяются функции, обрабатывающие входное сообщение блок за блоком и вычисляющие хеш-значение h i для каждого блока M i входного сообщения по зависимостям вида
h i =H(M i ,h i-1),
где h i-1 – результат, полученный при вычислении хеш-функции для предыдущего блока входных данных.
В результате выход хеш-функции h n является функцией от всех n блоков входного сообщения.
Использование блочных алгоритмов шифрования для формирования хеш-функции
В качестве хеш-функции можно использовать блочный . Если используемый блочный алгоритм криптографически стоек, то и хеш-функция на его основе будет надежной.
Простейшим способом использования блочного алгоритма для получения хеш-кода является шифрование сообщения в режиме CBC . В этом случае сообщение представляется в виде последовательности блоков, длина которых равна длине блока алгоритма шифрования. При необходимости последний блок дополняется справа нулями, чтобы получился блок нужной длины. Хеш-значением будет последний зашифрованный блок текста. При условии использования надежного блочного алгоритма шифрования полученное хеш-значение будет обладать следующими свойствами:
- практически невозможно без знания ключа шифрования вычисление хеш-значения для заданного открытого массива информации;
- практически невозможен без знания ключа шифрования подбор открытых данных под заданное значение хеш-функции.
Сформированное таким образом хеш-значение обычно называют имитовставкой или аутентификатором и используется для проверки целостности сообщения. Таким образом, имитовставка – это контрольная комбинация, зависящая от открытых данных и секретной ключевой информации. Целью использования имитовставки является обнаружение всех случайных или преднамеренных изменений в массиве информации. Значение, полученное хеш-функцией при обработке входного сообщения, присоединяется к сообщению в тот момент, когда известно, что сообщение корректно. Получатель проверяет целостность сообщения путем вычисления имитовставки полученного сообщения и сравнения его с полученным хеш-кодом, который должен быть передан безопасным способом. Одним из таких безопасных способов может быть шифрование имитовставки закрытым ключом отправителя, т.е. создание подписи. Возможно также шифрование полученного хеш-кода алгоритмом симметричного шифрования, если отправитель и получатель имеют общий ключ симметричного шифрования.
Указанный процесс получения и использования имитовставки описан в отечественном стандарте ГОСТ 28147-89. Стандарт предлагает использовать младшие 32 бита блока, полученного на выходе операции шифрования всего сообщения в режиме сцепления блоков шифра для контроля целостности передаваемого сообщения. Таким же образом для формирования имитовставки можно использовать любой блочный алгоритм симметричного шифрования .
Другим возможным способом применения блочного шифра для выработки хеш-кода является следующий. Исходное сообщение обрабатывается последовательно блоками. Последний блок при необходимости дополняется нулями, иногда в последний блок приписывают длину сообщения в виде двоичного числа. На каждом этапе шифруем хеш-значение, полученное на предыдущем этапе, взяв в качестве ключа текущий блок сообщения. Последнее полученное зашифрованное значение будет окончательным хеш-результатом.
На самом деле возможны еще несколько схем использования блочного шифра для формирования хеш-функции. Пусть М i – блок исходного сообщения, h i – значение хеш-функции на i-том этапе, f – блочный алгоритм шифрования, используемый в режиме простой замены, – операция сложения по модулю 2. Тогда возможны, например, следующие схемы формирования хеш-функции:
Во всех этих схемах длина формируемого хеш-значения равна длине блока при шифровании. Все эти, а также некоторые другие схемы использования блочного алгоритма шифрования для вычисления хеш-значений могут применяться на практике.
Основным недостатком хеш-функций, спроектированных на основе блочных алгоритмов, является относительно низкая скорость работы. Необходимую криптостойкость можно обеспечить и за меньшее количество операций над входными данными. Существуют более быстрые алгоритмы хеширования, спроектированных самостоятельно, с нуля, исходя из требований криптостойкости (наиболее распространенные из них – MD5, SHA-1, SHA-2 и ГОСТ Р 34.11-94).
Хеширование (иногда хэширование, англ. hashing) - преобразование входного массива данных произвольной длины в выходную строку фиксированной длины. Такие преобразования также называются хеш-функциями или функциями свёртки , входной массив – прообразом , а результаты преобразования - хешем, хеш-кодом, хеш-образом, цифровым отпечатком или дайджестом сообщения (англ. message digest).Хеш-функция – легко вычислимая функция, преобразующая исходное сообщения произвольной длины (прообраз) в сообщение фиксированное длины (хеш-образ), для которой не существует эффективного алгоритма поиска коллизий.
Коллизией для функции h называется пара значений x, y, x ≠ y , такая, что h(x) = h(y) . Т.о. хеш-функция должна обладать следующими свойствами:
Для данного значения h(x) невозможно найти значение аргумента x . Такие хеш-функции называют стойкими в смысле обращения или стойкими в сильном смысле ;
Для данного аргумента x невозможно найти другой аргумент y такой, что h(x) = h(y) . Такие хеш-функции называют стойкими в смысле вычисления коллизий или стойкими в слабом смысле .
В случае, когда значение хеш-функции зависит не только от прообраза, но и закрытого ключа, то это значение называют кодом проверки подлинности сообщений (Message Authentication Code, MAC), кодом проверки подлинности данных (Data Authentication Code, DAC) или имитовставкой .
На практике хеш-функции используют в следующих целях:
Для ускорения поиска данных в БД;
Ускорения поиска данных. Например, при записи текстовых полей в базе данных может рассчитываться их хеш-код и данные могут помещаться в раздел, соответствующий этому хеш-коду. Тогда при поиске данных надо будет сначала вычислить хеш-код текста и сразу станет известно, в каком разделе их надо искать, т.е. искать надо будет не по всей базе, а только по одному её разделу (это сильно ускоряет поиск).
Бытовым аналогом хеширования в данном случае может служить размещение слов в словаре по алфавиту. Первая буква слова является его хеш-кодом, и при поиске мы просматриваем не весь словарь, а только раздел с нужной буквой.
Процедура вычисления (стандартная схема алгоритма) хеш-функции представлена на следующем рисунке.
Рис.10.1. Процедура вычисления значения хеш-функции
1) К исходному сообщению Т добавляется вспомогательная информация (например, длина прообраза, вспомогательные символы и т.д.) так, чтобы длина прообраза Х стала кратной величине L бл , определенной спецификацией (стандартом) хеш-функции.
2) Для инициализации процедуры хеширования используется синхропосылка y 0 .
3) Прообраз X разбивается на n блоков x i (i = 1 .. n) фиксированной длины L бл , над которыми выполняется однотипная процедура хеширования f(y i-1 , x i) , зависящая от результата хеширования предыдущего блока y i-1 .
4) Хеш-образом h(T) исходного сообщения Т будет результат процедуры хеширования y n , полученный после обработки последнего блока x n .
10.2. MD5
MD5 (англ. Message Digest 5) – 128-битный алгоритм хеширования, разработанный профессором Рональдом Л. Ривестом из Массачусетского технологического института (Massachusetts Institute of Technology, MIT) в 1991 г. Является улучшенной в плане безопасности версией MD4 .
Ниже приведен алгоритм вычисления хеша.
1. Выравнивание потока.
В конец исходного сообщения, длиной L , дописывают единичный бит, затем необходимое число нулевых бит так, чтобы новый размер L" был сравним с 448 по модулю 512 (L’ mod 512 = 448). Добавление нулевых бит выполняется, даже если новая длина, включая единичный бит, уже сравнима с 448.
2. Добавление длины сообщения.
К модифицированному сообщению дописывают 64-битное представление длины данных (количество бит в сообщении). Т.е. длина сообщения T становится кратной 512 (T mod 512 = 0). Если длина исходного сообщения превосходит 2 64 - 1, то дописывают только младшие 64 бита. Кроме этого, для указанного 64-битного представления длины вначале записываются младшие 32 бита, а затем старшие 32 бита.
3. Инициализация буфера.
Для вычислений инициализируются 4 переменных размером по 32 бита и задаются начальные значения (шестнадцатеричное представление):
A
= 67 45 23 01;
B
= EF CD AB 89;
C
= 98 BA DC FE;
D
= 10 32 54 76.
В этих переменных будут храниться результаты промежуточных вычислений. Начальное состояние ABCD называется инициализирующим вектором.
4. Вычисление хеша в цикле.
Исходное сообщение разбивается на блоки T , длиной 512 бит. Для каждого блока в цикле выполняется процедура, приведенная на рис.10.2. Результат обработки всех блоков исходного сообщения в виде объединения 32-битных значений переменных ABCD и будет являться хешем.
Рис.10.2. Шаг основного цикла вычисления хеша
В каждом раунде над переменными ABCD и блоком исходного текста Т в цикле (16 итераций) выполняются однотипные преобразования по следующей схеме.
Рис.10.3. Одна итерация цикла раунда
Условные обозначения.
1) RF - раундовая функция, определяемая по следующей таблице.
Таблица 10.1. Раундовые функции RF
2) t j - j-ая 32-битовая часть блока исходного сообщения Т с обратным порядком следования байт;
3) k i - целая часть константы, определяемой по формуле
k i = 2 32 * | sin(i + 16 * (r - 1)) |, (10.1)
где i – номер итерации цикла (i = 1..16);
r – номер раунда (r = 1..4).
Аргумент функции sin измеряется в радианах.
4) ⊞ – сложение по модулю 2 32 .
5) <<< s i – циклический сдвиг влево на s i разрядов.
Используемая 32-битовая часть блока исходного сообщения t j и величина циклического сдвига влево s i зависят от номера итерации и приведены в следующей таблице.
Таблица 10.2. Величины, используемые на шаге цикла раунда
| № итерации | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
| Раунд 1 | t j | t 1 | t 2 | t 3 | t 4 | t 5 | t 6 | t 7 | t 8 | t 9 | t 10 | t 11 | t 12 | t 13 | t 14 | t 15 | t 16 |
| s i | 7 | 12 | 17 | 22 | 7 | 12 | 17 | 22 | 7 | 12 | 17 | 22 | 7 | 12 | 17 | 22 | |
| Раунд 2 | t j | t 2 | t 7 | t 12 | t 1 | t 6 | t 11 | t 16 | t 5 | t 10 | t 15 | t 4 | t 9 | t 14 | t 3 | t 8 | t 13 |
| s i | 5 | 9 | 14 | 20 | 5 | 9 | 14 | 20 | 5 | 9 | 14 | 20 | 5 | 9 | 14 | 20 | |
| Раунд 3 | t j | t 6 | t 9 | t 12 | t 15 | t 2 | t 5 | t 8 | t 11 | t 14 | t 1 | t 4 | t 7 | t 10 | t 13 | t 16 | t 3 |
| s i | 4 | 11 | 16 | 23 | 4 | 11 | 16 | 23 | 4 | 11 | 16 | 23 | 4 | 11 | 16 | 23 | |
| Раунд 4 | t j | t 1 | t 8 | t 15 | t 6 | t 13 | t 4 | t 11 | t 2 | t 9 | t 16 | t 7 | t 14 | t 5 | t 12 | t 3 | t 10 |
| s i | 6 | 10 | 15 | 21 | 6 | 10 | 15 | 21 | 6 | 10 | 15 | 21 | 6 | 10 | 15 | 21 | |
После 4 раундов новое (модифицированное) значение каждой из переменных ABCD складывается (⊞ ) с исходным (значением переменной до 1-го раунда).
5. Перестановка байт в переменных ABCD . После обработки всех блоков исходного сообщения для каждой переменной выполняется обратная перестановка байт.
Поиск коллизий.
В 2004 г. китайские исследователи Ван Сяоюнь (Wang Xiaoyun), Фен Дэнгуо (Feng Dengguo), Лай Сюэцзя (Lai Xuejia) и Юй Хунбо (Yu Hongbo) объявили об обнаруженной ими уязвимости в алгоритме, позволяющей за небольшое время (1 час на кластере IBM p690) находить коллизии.
10.3. Применение шифрования для получения хеш-образа
Для выработки устойчивого к коллизиям хеш-образа могут применяться специальные режимы, предусмотренные в блочных шифрах (например, сцепление блоков шифра у ), или в самой хеш-функции, как составная часть, может использоваться один из режимов блочного шифра (например, составной часть хеш-функции по ГОСТ 34.11-94 1 является режим простой замены алгоритма криптографического преобразования по 2).
Напомним что в случае, когда значение хеш-функции зависит не только от прообраза, но и закрытого ключа, то хеш-образ называют кодом проверки подлинности сообщений (Message Authentication Code, MAC), кодом проверки подлинности данных (Data Authentication Code, DAC) или имитовставкой .
В качестве примера приведем режим (сцепление блоков шифра - Cipher Block Chaining).
Рис.10.4. Схема алгоритма DES в режиме сцепления блоков шифра
Последний зашифрованный блок C n и есть хеш-образ сообщения T = {T 1 , T 2 , …, T n } .
1 ГОСТ 34.11-94 «Информационная технология. Криптографическая защита информации. Функция хэширования».
2 ГОСТ 28147-89 «Системы обработки информации. Защита криптографическая. Алгоритм криптографического преобразования».
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение понятиям: « », « », « ».
Рассмотренные нами алгоритмы поиска обычно основаны на абстрактной операции сравнения. Из этого ряда существенно выделяется метод распределяющего поиска, описанный в "Таблицы символов и деревья бинарного поиска" , при котором элемент с ключом i хранится в i-ой позиции таблицы, что позволяет обратиться к нему непосредственно. При распределяющем поиске значения ключей используются в качестве индексов массива, а не операндов операции сравнения; сам метод основан на том, что ключи являются различными целыми числами из того же диапазона, что и индексы таблицы. В этой главе мы рассмотрим хеширование ( hashing ) - расширенный вариант распределяющего поиска, применяемый в более типичных приложениях поиска, где ключи не обладают столь удобными свойствами. Конечный результат применения данного подхода совершенно не похож на методы, основанные на сравнении - вместо перемещения по структурам данных словаря с помощью сравнения ключей поиска с ключами в элементах, мы пытаемся обратиться к элементам в таблице непосредственно, выполняя арифметическое преобразование ключей в адреса таблицы.
Алгоритмы поиска, использующие хеширование , состоят из двух отдельных частей. Первый шаг - вычисление хеш-функции ( hash function ), которая преобразует ключ поиска в адрес в таблице. В идеале различные ключи должны были бы отображаться на различные адреса, но часто два или более различных ключа могут дать один и тот же адрес в таблице. Поэтому вторая часть поиска методом хеширования - процесс разрешения коллизий ( collision resolution ), который обрабатывает такие ключи. В одном из методов разрешения конфликтов, который мы рассмотрим в этой главе, используются связные списки, поэтому он находит непосредственное применение в динамических ситуациях, когда трудно заранее предугадать количество ключей поиска. В других двух методах разрешения коллизий достигается высокая производительность поиска, поскольку элементы хранятся в фиксированном массиве. Мы рассмотрим способ усовершенствования этих методов, позволяющий использовать их и в тех случаях, когда нельзя заранее предсказать размеры таблицы.
Хеширование - хороший пример баланса между временем и объемом памяти. Если бы не было ограничения на объем используемой памяти, любой поиск можно было бы выполнить с помощью всего лишь одного обращения к памяти, просто используя ключ в качестве адреса памяти, как при распределяющем поиске. Однако обычно этот идеальный случай недостижим, поскольку для длинных ключей может потребоваться огромный объем памяти. С другой стороны, если бы не было ограничений на время выполнения , можно было бы обойтись минимальным объемом памяти, пользуясь методом последовательного поиска. Хеширование представляет собой способ использования приемлемого объема как памяти, так и времени, и достижения баланса между этими двумя крайними требованиями. В частности, можно поддерживать любой баланс, просто меняя размер таблицы, а не переписывая код и не выбирая другие алгоритмы.
Хеширование - одна из классических задач компьютерных наук: его различные алгоритмы подробно исследованы и находят широкое применение. Мы увидим, что при совсем не жестких допущениях можно надеяться на поддержку операций найти и вставить в таблицах символов с постоянным временем выполнения, независимо от размера таблицы.
Это ожидаемое значение - теоретический оптимум производительности для любой реализации таблицы символов, но хеширование все же не является панацеей по двум основным причинам. Во-первых, время выполнения зависит от длины ключа, которая в реальных приложениях, использующих длинные ключи, может быть значительной. Во-вторых, хеширование не обеспечивает эффективные реализации других операций с таблицами символов, таких, как выбрать или сортировать. В этой главе мы подробно рассмотрим эти и другие вопросы.
Хеш-функции
Прежде всего необходимо решить задачу вычисления хеш-функции, преобразующей ключи в адреса таблицы. Обычно реализация этого арифметического вычисления не представляет сложности, но все же необходимо соблюдать осторожность, чтобы не нарваться на различные малозаметные подводные камни. При наличии таблицы, которая может содержать M элементов, нужна функция, преобразующая ключи в целые числа в диапазоне . Идеальная хеш-функция должна легко вычисляться и быть похожей на случайную функцию: для любых аргументов результаты в некотором смысле должны быть равновероятными.
Хеш-функция зависит от типа ключа. Строго говоря, для каждого возможного вида ключей требуется отдельная хеш-функция. Для повышения эффективности обычно желательно избегать явного преобразования типов, обратившись вместо этого к идее рассмотрения двоичного представления ключей в машинном слове в виде целого числа, которое можно использовать в арифметических вычислениях. Хеширование появилось до языков высокого уровня - на ранних компьютерах было обычным делом рассматривать какое-либо значение то как строковый ключ, то как целое число. В некоторых языках высокого уровня затруднительно создавать программы, которые зависят от представления ключей в конкретном компьютере, поскольку такие программы, по сути, являются машинно-зависимыми, и поэтому их трудно перенести на другой компьютер. Обычно хеш-функции зависят от процесса преобразования ключей в целые числа, поэтому в реализациях хеширования бывает трудно одновременно обеспечить и машинную независимость, и эффективность. Как правило, простые целочисленные ключи или ключи типа с плавающей точкой можно преобразовать с помощью всего одной машинной операции, но строковые ключи и другие типы составных ключей требуют больших затрат и большего внимания к эффективности.
Вероятно, простейшей является ситуация, когда ключами являются числа с плавающей точкой из фиксированного диапазона. Например, если ключи - числа, большие 0 и меньшие 1, их можно просто умножить на M, округлить результат до меньшего целого числа и получить адрес в диапазоне между 0 и M - 1 ; такой пример показан на рис. 14.1 . Если ключи больше s и меньше t, их можно масштабировать, вычтя s и разделив на t-s , в результате чего они попадут в диапазон значений между 0 и 1, а затем умножить на M и получить адрес в таблице.
Рис.
14.1.
Для преобразования чисел с плавающей точкой в диапазоне между 0 и 1 в индексы таблицы, размер которой равен 97, выполняется умножение этих чисел на 97. В данном примере произошло три коллизии: для индексов, равных 17, 53 и 76. Хеш-значения определяются старшими разрядами ключа, младшие разряды не играют никакой роли. Одна из целей разработки хеш-функции - устранение такого дисбаланса, чтобы во время вычисления учитывался каждый разряд.
Если ключи являются w-разрядными целыми числами, их можно преобразовать в числа с плавающей точкой и разделить на 2 w для получения чисел с плавающей точкой в диапазоне между 0 и 1, а затем умножить на M, как в предыдущем абзаце. Если операции с плавающей точкой занимают много времени, а числа не столь велики, чтобы привести к переполнению, этот же результат может быть получен с помощью целочисленных арифметических операций: нужно ключ умножить на M, а затем выполнить сдвиг вправо на w разрядов для деления на 2 w (или, если умножение приводит к переполнению, выполнить сдвиг, а затем умножение). Такие методы бесполезны для хеширования, если только ключи не распределены по диапазону равномерно, поскольку хеш-значение определяется только ведущими цифрами ключа.
Более простой и эффективный метод для w-разрядных целых чисел - один из, пожалуй, наиболее часто используемых методов хеширования - выбор в качестве размера M таблицы простого числа и вычисление остатка от деления к на M, т.е. h(k) = k mod M для любого целочисленного ключа k. Такая функция называется модульной хеш-функцией. Ее очень просто вычислить (k % M в языке C++), и она эффективна для достижения равномерного распределения значений ключей между значениями, меньшими M. Небольшой пример показан на рис. 14.2 .
Рис. 14.2.
В трех правых столбцах показан результат хеширования 16-разрядных ключей, приведенных слева, с помощью следующих функций:
v % 97 (слева)
v % 100 (в центре) и
(int) (a * v) % 100 (справа),
где a = .618033 . Размеры таблицы для этих функций соответственно равны 97, 100 и 100. Значения выглядят случайными (поскольку случайны ключи). Вторая функция (v % 100 ) использует лишь две крайние правые цифры ключей и поэтому для неслучайных ключей может показывать низкую производительность.
Модульное хеширование применимо и к ключам с плавающей точкой. Если ключи принадлежат небольшому диапазону, можно масштабировать их в числа из диапазона между 0 и 1, 2 w для получения w-разрядных целочисленных значений, а затем использовать модульную хеш-функцию. Другой вариант - просто использовать в качестве операнда модульной хеш-функции двоичное представление ключа (если оно доступно).
Модульное хеширование применяется во всех случаях, когда имеется доступ к битам, из которых состоят ключи, независимо от того, являются ли они целыми числами, представленными машинным словом, последовательностью символов, упакованных в машинное слово, или представлены любым другим возможным вариантом. Последовательность случайных символов, упакованная в машинное слово - не совсем то же, что случайные целочисленные ключи, поскольку не все разряды используются для кодирования. Но оба эти типа (и любой другой тип ключа, закодированный так, чтобы уместиться в машинном слове) можно заставить выглядеть случайными индексами в небольшой таблице.
Основная причина выбора в качестве размера M хеш-таблицы простого числа для модульного хеширования показана на рис. 14.3 . В этом примере символьных данных с 7-разрядным кодированием ключ трактуется как число с основанием 128 - по одной цифре для каждого символа в ключе. Слово now соответствует числу 1816567, которое может быть также записано как
поскольку в ASCII-коде символам n, o и w соответствуют числа 1568 = 110 , 1578 = 111 и 1678 = 119 . Выбор размера таблицы M = 64 для этого типа ключа неудачен, поскольку добавление к х значений, кратных 64 (или 128), не меняет значение х mod 64 - для любого ключа значением хеш-функции является значение последних 6 разрядов этого ключа. Безусловно, хорошая хеш-функция должна учитывать все разряды ключа, особенно для символьных ключей. Аналогичные ситуации могут возникать, когда M содержит множитель, являющийся степенью 2. Простейший способ избежать этого - выбрать в качестве M простое число.
Рис. 14.3.
В каждой строке этой таблицы приведены: 3-буквенное слово, представление этого слова в ASCII-коде как 21-битовое число в восьмеричной и десятичной формах и стандартные модульные хеш-функции для размеров таблиц 64 и 31 (два крайних справа столбца). Размер таблицы 64 приводит к нежелательным результатам, поскольку для получения хеш-значения используются только самые правые разряды ключа, а буквы в словах обычного языка распределены неравномерно. Например, всем словам, оканчивающимся на букву у, соответствует хеш-значение 57. И, напротив, простое значение 31 вызывает меньше коллизий в таблице более чем вдвое меньшего размера.
Модульное хеширование очень просто реализовать, за исключением того, что размер таблицы должен быть простым числом. Для некоторых приложений можно довольствоваться небольшим известным простым числом или же поискать в списке известных простых чисел такое, которое близко к требуемому размеру таблицы. Например, числа равные 2 t - 1, являются простыми при t = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 и 31 (и ни при каких других значениях t < 31 ): это известные простые числа Мерсенна. Чтобы динамически распределить таблицу нужного размера, нужно вычислить простое число, близкое к этому значению. Такое вычисление нетривиально (хотя для этого и существует остроумный алгоритм, который будет рассмотрен в части 5), поэтому на практике обычно используют таблицу заранее вычисленных значений (см. рис. 14.4). Использование модульного хеширования - не единственная причина, по которой размер таблицы стоит сделать простым числом; еще одна причина рассматривается в разделе 14.4.
Рис. 14.4.
Эта таблица наибольших простых чисел, меньших 2 n , для 
, может использоваться для динамического распределения хеш-таблицы, когда нужно, чтобы размер таблицы был простым числом. Для любого данного положительного значения в охваченном диапазоне эту таблицу можно использовать для определения простого числа, отличающегося от него менее чем в 2 раза.
Другой вариант обработки целочисленных ключей - объединение мультипликативного и модульного методов: нужно умножить ключ на константу в диапазоне между 0 и 1, а затем выполнить деление по модулю M. Другими словами, необходимо использовать функцию . Между значениями , M и эффективным основанием системы счисления ключа существует взаимосвязь, которая теоретически могла бы привести к аномальному поведению, но если использовать произвольное значение a, в реальном приложении вряд ли возникнет какая-либо проблема. Часто в качестве a выбирают значение ф = 0,618033... (золотое сечение).
Изучено множество других вариаций на эту тему, в частности, хеш-функции, которые могут быть реализованы с помощью таких эффективных машинных инструкций, как сдвиг и выделение по маске (см. раздел ссылок).
Во многих приложениях, в которых используются таблицы символов, ключи не являются числами и не обязательно являются короткими; чаще это алфавитно-цифровые строки, которые могут быть весьма длинными. Ну и как вычислить хеш-функцию для такого слова, как averylongkey?
В 7-разрядном ASCII-коде этому слову соответствует 84-разрядное число \begin{align*} 97 \cdot 128^{11} &+ 118 \cdot 128^{10} + 101 \cdot 128^{9} + 114 \cdot 128^{8} + 121 \cdot 128^{7}\\ &+ 108 \cdot 128^{6} + 111 \cdot 128^{5} + 110 \cdot 128^{4} + 103 \cdot 128^{3}\\ &+ 107 \cdot 128^{2} + 101 \cdot 128^{1} + 121 \cdot 128^{0}, \end{align*},
которое слишком велико, чтобы с ним можно было выполнять обычные арифметические функции в большинстве компьютеров. А зачастую требуется обрабатывать и гораздо более длинные ключи.
Чтобы вычислить модульную хеш-функцию для длинных ключей, они преобразуются фрагмент за фрагментом. Можно воспользоваться арифметическими свойствами функции модуля и использовать алгоритм Горнера (см. раздел 4.9 "Абстрактные типы данных"). Этот метод основан на еще одном способе записи чисел, соответствующих ключам. Для рассматриваемого примера запишем следующее выражение: \begin{align*} ((((((((((97 \cdot 128^{11} &+ 118) \cdot 128^{10} + 101) \cdot 128^{9} + 114) \cdot 128^{8} + 121) \cdot 128^{7}\\ &+ 108) \cdot 128^{6} + 111) \cdot 128^{5} + 110) \cdot 128^{4} + 103) \cdot 128^{3}\\ &+ 107) \cdot 128^{2} + 101) \cdot 128^{1} + 121. \end{align*}
То есть десятичное число, соответствующее символьной кодировке строки, можно вычислить при просмотре ее слева направо, умножая накопленное значение на 128, а затем добавляя кодовое значение следующего символа. В случае длинной строки этот способ вычисления в конце концов приведет к числу, большему того, которое вообще можно представить в компьютере. Однако это число и не нужно, поскольку требуется только (небольшой) остаток от его деления на M. Результат можно получить, даже не сохраняя большое накопленное значение, т.к. в любой момент вычисления можно отбросить число, кратное M - при каждом выполнении умножения и сложения нужно хранить только остаток от деления по модулю M. Результат будет таким же, как если бы у нас имелась возможность вычислить длинное число, а затем выполнять деление (см. упражнение 14.10). Это наблюдение ведет к непосредственному арифметическому способу вычисления модульных хеш-функций для длинных строк - см. программу 14.1. В этой программе используется еще одно, последнее ухищрение: вместо основания 128 в ней используется простое число 127. Причина этого изменения рассматривается в следующем абзаце.
Существует множество способов вычисления хеш-функций приблизительно с теми же затратами, что и для модульного хеширования с использованием метода Горнера (одна-две арифметические операции для каждого символа в ключе). Для случайных ключей эти методы практически не отличаются друг от друга, но реальные ключи редко бывают случайными. Возможность ценой небольших затрат придать реальным ключам случайный вид приводит к рассмотрению рандомизированных алгоритмов хеширования, поскольку нам требуются хеш-функции, которые создают случайные индексы таблицы независимо от распределения ключей. Рандомизацию организовать нетрудно, поскольку вовсе не требуется буквально придерживаться определения модульного хеширования - нужно всего лишь, чтобы в вычислении целого числа, меньшего M, использовались все разряды ключа.
Программа 14.1. Хеш-функция для строковых ключей
M = 96 и a = 128 (вверху),
M = 97 и a = 128 (в центре) и
M = 96 и a = 127 (внизу)
Неравномерное распределение в первом случае является результатом неравномерного употребления букв и сохранения неравномерности из-за того, что и размер таблицы, и множитель кратны 32. Два других примера выглядят случайными, поскольку размер таблицы и множитель являются взаимно простыми числами.
В программе 14.1 показан один из способов сделать это: использование простого основания вместо степени 2 и целого числа, соответствующего ASCII-представлению строки. На рис. 14.5 рис. 14.5 показано, как это изменение улучшает распределение для типичных строковых ключей. Теоретически хеш-значения, созданные программой 14.1, могут давать плохие результаты для размеров таблицы, которые кратны 127 (хотя на практике это, скорее всего, будет почти незаметно); для создания рандомизированного алгоритма можно было бы выбрать значение множителя наугад. Еще более эффективный подход - использование случайных значений коэффициентов в вычислении и различных случайных значений для каждой цифры ключа. Такой подход дает рандомизированный алгоритм, называемый универсальным хешированием (universal hashing).
Теоретически идеальная универсальная хеш-функция - это функция, для которой вероятность коллизии между двумя различными ключами в таблице размером M в точности равна 1/M. Можно доказать, что использование в качестве коэффициента а в программе 14.1 не фиксированного произвольного значения, а последовательности случайных различных значений преобразует модульное хеширование в универсальную хеш-функцию. Однако затраты на генерирование нового случайного числа для каждого символа в ключе обычно неприемлемы. На практике можно достичь компромисса, показанного в программе 14.1, не храня массив различных случайных чисел для каждого символа ключа, а варьируя коэффициенты с помощью генерации простой псевдослучайной последовательности.
Подведем итоги: чтобы для реализации абстрактной таблицы символов использовать хеширование, сначала необходимо расширить интерфейс абстрактного типа, включив в него операцию hash, которая отображает ключи на неотрицательные целые числа, меньшие размера таблицы M.
Он же хеш «хэш-функция»
Находится в списке.