دعونا نلقي نظرة على العمليات الحسابية الأساسية: الجمع والطرح والضرب والقسمة.قواعد إجراء هذه العمليات في النظام العشري معروفة جيدًا - وهي الجمع والطرح والضرب في عمود والقسمة بزاوية. تنطبق هذه القواعد على جميع أنظمة الأرقام الموضعية الأخرى. كل ما تحتاجه هو استخدام جداول الجمع والضرب الخاصة لكل نظام.

1. الإضافة

من السهل إنشاء جداول الجمع باستخدام قواعد العد.

عند الإضافة يتم جمع الأرقام بالأرقام، وإذا كان هناك فائض، يتم نقله إلى اليسار.

مثال 1. دعونا نضيف الأرقام 15 و 6 في أنظمة أرقام مختلفة.

مثال 2. دعونا نضيف الأرقام 15 و 7 و 3.

مثال 3. فلنجمع الرقمين 141.5 و59.75.

الجواب: 141.5 + 59.75 = 201.25 10 = 11001001.01 2 = 311.2 8 = C9.4 16

فحص. تحويل المبالغ الناتجة إلى شكل عشري:

11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25

311,2 8 = 3 . 8 2 + 1 . 8 1 + 1 . 8 0 + 2 . 8 -1 = 201,25

ج9.4 16 = 12 . 16 1 + 9 . 16 0 + 4 . 16 -1 = 201,25

2. الطرح

يُقرضوحدات عالية الترتيب

مثال 4. اطرح واحدًا من الأعداد 10 2 , 10 8 و 10 16

مثال 5. اطرح واحدًا من الأعداد 100 2 , 100 8 و 100 16 .

مثال 6. اطرح الرقم 59.75 من الرقم 201.25.

الجواب: 201.25 10 - 59.75 10 = 141.5 10 = 10001101.1 2 = 215.4 8 = 8د.8 16.

فحص. دعنا نحول الاختلافات الناتجة إلى شكل عشري:

10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;

215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;

8د,8 16 = 8 . 16 1 + د . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.

ملحوظة:
يمكنك تنفيذ الإجراءات في نظام أرقام واحد فقط؛ إذا تم إعطاؤك أنظمة أرقام مختلفة، فقم أولاً بتحويل جميع الأرقام إلى نظام أرقام واحد
إذا كنت تعمل باستخدام نظام أرقام أساسه أكبر من 10 وكان لديك حرف في مثالك، فاستبدله ذهنيًا برقم في النظام العشري، وقم بتنفيذ العمليات اللازمة وتحويل النتيجة مرة أخرى إلى نظام الأرقام الأصلي

إضافة:
يتذكر الجميع كيف تعلمنا في المدرسة الابتدائية أن نضيف عمودًا مكانًا تلو الآخر. إذا تم الحصول على رقم أكبر من 9 عند إضافة رقم، فطرحنا 10 منه، وتم تسجيل النتيجة الناتجة في الإجابة، وأضيف 1 إلى الرقم التالي. ومن هذا يمكننا صياغة قاعدة:

1. إنه أكثر ملاءمة للطي في "عمود"
2. إضافة مكان بمكان، إذا كان الرقم الموجود في المكان > أكبر من أكبر رقم في الأبجدية لنظام أرقام معين، فإننا نطرح قاعدة نظام الأرقام من هذا الرقم.
3. نكتب النتيجة في الفئة المطلوبة
4. أضف واحدًا إلى الرقم التالي

أضف 1001001110 و100111101 في نظام الأرقام الثنائية

الجواب: 1110001011

أضف F3B و5A بالتدوين الست عشري

الجواب: FE0

الطرح: يتذكر الجميع كيف تعلمنا في المدرسة الابتدائية أن نطرح القيمة المكانية من القيمة المكانية حسب العمود. إذا تم الحصول على رقم أقل من 0 عند طرح رقم، فإننا "نستعير" واحدًا من أعلى رقم ونضيف 10 إلى الرقم المطلوب، ونطرح الرقم المطلوب من الرقم الجديد. ومن هذا يمكننا صياغة قاعدة:

1. إنه أكثر ملاءمة للطرح في "عمود"
2. الطرح في مكانه إذا كان الرقم في مكانه< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. نقوم بإجراء الطرح

طرح الرقم 100111101 من 1001001110 في نظام الأرقام الثنائية

الجواب: د96

الأهم من ذلك، لا تنس أن لديك فقط أرقامًا من نظام أرقام معين تحت تصرفك، ولا تنس أيضًا الانتقالات بين مصطلحات الأرقام.
عمليه الضرب:

يحدث الضرب في أنظمة الأعداد الأخرى بنفس الطريقة التي اعتدنا عليها في الضرب.

1. إنه أكثر ملاءمة للضرب في "عمود"
2. يتبع الضرب في أي نظام أرقام نفس القواعد المتبعة في النظام العشري. لكن لا يمكننا سوى استخدام الأبجدية التي يقدمها نظام الأرقام

اضرب 10111 بالرقم 1101 في نظام الأرقام الثنائية

الجواب: 984E

الجواب: 984E

قسم:

يحدث القسمة في أنظمة الأعداد الأخرى بنفس الطريقة التي اعتدنا عليها في القسمة.

1. من الأنسب التقسيم إلى "عمود"
2. تتبع القسمة في أي نظام أرقام نفس القواعد المتبعة في النظام العشري. لكن لا يمكننا سوى استخدام الأبجدية التي يقدمها نظام الأرقام

مثال:

قسمة 1011011 على 1101 في نظام الأرقام الثنائية

يقسم ف 3 ب للرقم 8 في نظام الأرقام الست عشري

الأهم من ذلك، لا تنس أن لديك فقط أرقامًا من نظام أرقام معين تحت تصرفك، ولا تنس أيضًا الانتقالات بين مصطلحات الأرقام.

غير موضعي

أنظمة الأعداد غير الموضعية

ظهرت أنظمة الأعداد غير الموضعية تاريخيًا لأول مرة. في هذه الأنظمة، يكون معنى كل حرف رقمي ثابتًا ولا يعتمد على موضعه. أبسط حالة للنظام غير الموضعي هي نظام الوحدات، حيث يتم استخدام رمز واحد للدلالة على الأرقام، عادة شريط، وأحيانًا نقطة، حيث يتم دائمًا وضع الكمية المقابلة للرقم المحدد:

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - |||، الخ.

إذن هذه الشخصية الواحدة لها معنى وحدات، ومنه يتم الحصول على العدد المطلوب عن طريق الجمع المتتالي:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

تعديل نظام الوحدات هو النظام ذو القاعدة، حيث توجد رموز ليس فقط لتعيين الوحدة، ولكن أيضًا لدرجات القاعدة. على سبيل المثال، إذا تم أخذ الرقم 5 كأساس، فسيكون هناك رموز إضافية للإشارة إلى 5، 25، 125، وهكذا.

مثال على هذا النظام ذو الأساس 10 هو النظام المصري القديم، الذي نشأ في النصف الثاني من الألفية الثالثة قبل الميلاد. كان لهذا النظام الحروف الهيروغليفية التالية:

• وحدات القطب,
• قوس - عشرات،
• سعف النخيل - المئات،
• زهرة اللوتس - الآلاف.

تم الحصول على الأرقام عن طريق الجمع البسيط، ويمكن أن يكون أي ترتيب. لذلك، لتعيين الرقم 3815، على سبيل المثال، تم رسم ثلاث زهور لوتس وثمانية سعف نخيل وقوس واحد وخمسة أعمدة. أنظمة أكثر تعقيدًا مع علامات إضافية - اليونانية القديمة والرومانية. يستخدم النظام الروماني أيضًا عنصرًا من عناصر النظام الموضعي - تتم إضافة رقم أكبر أمام الرقم الأصغر، ويتم طرح رقم أصغر أمام الرقم الأكبر: IV = 4، لكن VI = 6، ومع ذلك، فإن هذه الطريقة، يستخدم حصريًا للدلالة على الأرقام 4، 9، 40، 90، 400، 900، 4000 ومشتقاتها بالجمع.

استخدم النظامان اليوناني الحديث والروسي القديم 27 حرفًا من الحروف الأبجدية كأرقام، حيث كانت تشير إلى كل رقم من 1 إلى 9، بالإضافة إلى العشرات والمئات. هذا الأسلوب جعل من الممكن كتابة الأرقام من 1 إلى 999 دون تكرار الأرقام.

في النظام الروسي القديم، تم استخدام إطارات خاصة حول الأرقام للإشارة إلى الأعداد الكبيرة.

لا يزال نظام الترقيم غير الموضعي مستخدمًا في كل مكان تقريبًا كنظام ترقيم لفظي. ترتبط أنظمة الترقيم اللفظي ارتباطًا وثيقًا باللغة، وترتبط عناصرها المشتركة بشكل أساسي بالمبادئ العامة وأسماء الأعداد الكبيرة (تريليون وما فوق). تتضمن المبادئ العامة التي يقوم عليها الترقيم اللفظي الحديث تشكيل التسميات من خلال إضافة وضرب معاني الأسماء الفريدة.

| علوم الحاسوب وتكنولوجيا المعلومات والاتصالات | تخطيط الدرس ومواد الدرس | الصف العاشر | تخطيط الدروس للعام الدراسي (FSES) | العمليات الحسابية في أنظمة الأعداد الموضعية

الدرس 15
§12. العمليات الحسابية في أنظمة الأعداد الموضعية

العمليات الحسابية في أنظمة الأعداد الموضعية

العمليات الحسابية في أنظمة الأعداد الموضعية ذات الأساس سيتم إجراؤها وفق قواعد مشابهة للقواعد المعمول بها في نظام الأعداد العشرية.

في المدارس الابتدائية، يتم استخدام جداول الجمع والضرب لتعليم الأطفال العد. يمكن تجميع جداول مماثلة لأي نظام أرقام موضعية.

12.1. جمع الأرقام في نظام الأرقام مع الأساس q

خذ بعين الاعتبار أمثلة لجداول الجمع في أنظمة الأعداد الثلاثية (الجدول 3.2) والثمانية (الجدول 3.4) والنظام السداسي العشري (الجدول 3.3).

الجدول 3.2

الجمع في نظام الأعداد الثلاثية

الجدول 3.3

الجمع في نظام الأرقام الست عشري

الجدول 3.4

الجمع في نظام الأرقام الثماني

ساحصل على المبلغ سرقمين أو ب، تحتاج إلى جمع الأرقام التي تشكلها بالأرقام أنامن اليمين إلى اليسار:

إذا أ ط + ب ط< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
إذا كان a i + b i ≥ q، فإن s i = a i + b i - q، يتم زيادة الرقم الأكثر أهمية (i + 1) بمقدار 1.

أمثلة:

12.2. طرح الأعداد في نظام الأعداد q الأساسي

وذلك في نظام الأرقام مع القاعدة ساحصل على الفرق ررقمين أو فيفمن الضروري حساب الاختلافات بين الأرقام التي تشكلها بالأرقام أنامن اليمين إلى اليسار:

إذا a i ≥ b i، ثم r i = a i - b i، فإن الرقم الأكثر أهمية (i + 1) لا يتغير؛
إذا أنا< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).

تتيح لك الآلة الحاسبة تحويل الأعداد الصحيحة والكسرية من نظام أرقام إلى آخر. لا يمكن أن يكون أساس نظام الأرقام أقل من 2 وأكثر من 36 (10 أرقام و26 حرفًا لاتينيًا على كل حال). يجب ألا يتجاوز طول الأرقام 30 حرفًا. لإدخال أرقام كسرية، استخدم الرمز. أو، . لتحويل رقم من نظام إلى آخر، أدخل الرقم الأصلي في الحقل الأول، وقاعدة نظام الأرقام الأصلي في الحقل الثاني، وقاعدة نظام الأرقام الذي تريد تحويل الرقم إليه في الحقل الثالث، ثم انقر فوق الزر "الحصول على السجل".

الرقم الأصلي مكتوب في 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -نظام الأرقام.

أريد الحصول على رقم مكتوب 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -نظام الأرقام.

الحصول على الدخول

تمت الترجمات: 3336969

قد تكون مهتمًا أيضًا:

• حاسبة جدول الحقيقة. SDNF. SKNF. زيجالكين متعدد الحدود

أنظمة الأرقام

تنقسم أنظمة الأرقام إلى نوعين: الموضعيةو ليس موضعيا. نحن نستخدم النظام العربي، وهو موضعي، ولكن هناك أيضًا النظام الروماني - وهو ليس موضعيًا. في الأنظمة الموضعية، يحدد موضع الرقم في الرقم قيمة هذا الرقم بشكل فريد. من السهل فهم ذلك من خلال النظر إلى بعض الأرقام كمثال.

مثال 1. لنأخذ الرقم 5921 في نظام الأرقام العشري. لنرقم الرقم من اليمين إلى اليسار بدءًا من الصفر:

يمكن كتابة الرقم 5921 بالشكل التالي: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . الرقم 10 هو الخاصية التي تحدد نظام الأرقام. يتم أخذ قيم موضع رقم معين كقوى.

مثال 2. خذ بعين الاعتبار الرقم العشري الحقيقي 1234.567. لنقوم بترقيمه بدءًا من موضع الصفر للرقم من العلامة العشرية إلى اليسار واليمين:

يمكن كتابة الرقم 1234.567 بالشكل التالي: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3 .

تحويل الأرقام من نظام أرقام إلى آخر

إن أبسط طريقة لتحويل رقم من نظام أرقام إلى آخر هي تحويل الرقم أولاً إلى نظام الأرقام العشري، ثم النتيجة الناتجة إلى نظام الأرقام المطلوب.

تحويل الأرقام من أي نظام أرقام إلى نظام الأرقام العشري

لتحويل رقم من أي نظام أرقام إلى نظام عشري، يكفي ترقيم أرقامه، بدءًا من الصفر (الرقم الموجود على يسار العلامة العشرية) كما في المثالين 1 أو 2. فلنوجد مجموع حاصل ضرب الأرقام من الرقم بقاعدة نظام الأرقام إلى قوة موضع هذا الرقم:

1. تحويل الرقم 1001101.1101 2 إلى نظام الأرقام العشري.
حل: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
إجابة: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. تحويل الرقم E8F.2D 16 إلى نظام الأرقام العشري.
حل: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
إجابة: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

تحويل الأعداد من نظام الأرقام العشري إلى نظام أرقام آخر

لتحويل الأرقام من نظام الأرقام العشري إلى نظام أرقام آخر، يجب تحويل الأجزاء الصحيحة والكسرية من الرقم بشكل منفصل.

تحويل جزء صحيح من رقم من نظام أرقام عشري إلى نظام أرقام آخر

يتم تحويل الجزء الصحيح من نظام أرقام عشري إلى نظام أرقام آخر عن طريق قسمة الجزء الصحيح من الرقم بالتسلسل على أساس نظام الأرقام حتى يتم الحصول على باقي كامل أقل من أساس نظام الأرقام. وستكون نتيجة الترجمة عبارة عن سجل للباقي، بدءًا من الترجمة الأخيرة.

3. تحويل الرقم 273 10 إلى نظام الأرقام الثماني.
حل: 273 / 8 = 34 والباقي 1. 34 / 8 = 4 والباقي 2. 4 أقل من 8، وبذلك تكون العملية الحسابية قد اكتملت. سيبدو السجل من الأرصدة كما يلي: 421
فحص: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273، النتيجة واحدة. وهذا يعني أن الترجمة تمت بشكل صحيح.
إجابة: 273 10 = 421 8

دعونا نفكر في ترجمة الكسور العشرية العادية إلى أنظمة أرقام مختلفة.

تحويل الجزء الكسري من رقم من نظام الأرقام العشري إلى نظام أرقام آخر

تذكر أن الكسر العشري الصحيح يسمى عدد حقيقي مع جزء صحيح صفر. لتحويل مثل هذا الرقم إلى نظام أرقام ذو الأساس N، تحتاج إلى ضرب الرقم بالتتابع في N حتى يصل الجزء الكسري إلى الصفر أو يتم الحصول على العدد المطلوب من الأرقام. إذا تم الحصول على رقم به جزء صحيح غير الصفر أثناء الضرب، فلن يتم أخذ الجزء الصحيح في الاعتبار بشكل أكبر، حيث يتم إدخاله بالتسلسل في النتيجة.

4. تحويل الرقم 0.125 10 إلى نظام الأرقام الثنائية.
حل: 0.125·2 = 0.25 (0 هو الجزء الصحيح الذي سيصبح الرقم الأول من النتيجة)، 0.25·2 = 0.5 (0 هو الرقم الثاني من النتيجة)، 0.5·2 = 1.0 (1 هو الرقم الثالث من النتيجة، وبما أن الجزء الكسري هو صفر، فقد اكتملت الترجمة).
إجابة: 0.125 10 = 0.001 2

العمليات الحسابية في نظام الأرقام الثنائية

يتم تحديد قواعد إجراء العمليات الحسابية على الأعداد الثنائية عن طريق جداول الجمع والطرح والضرب.

قاعدة إجراء عملية الجمع هي نفسها بالنسبة لجميع أنظمة الأرقام: إذا كان مجموع الأرقام المضافة أكبر من أو يساوي قاعدة نظام الأرقام، فسيتم نقل الوحدة إلى الرقم التالي على اليسار. عند الطرح، إذا لزم الأمر، قم بتقديم قرض.

يتم تنفيذ العمليات الحسابية بشكل مشابه في أنظمة الأرقام الثمانية والست عشرية وأنظمة الأرقام الأخرى. من الضروري أن نأخذ في الاعتبار أن مقدار التحويل إلى الرقم التالي عند الإضافة والاقتراض من الرقم الأعلى عند الطرح يتم تحديده من خلال قيمة أساس نظام الأرقام.

العمليات الحسابية في نظام الأعداد الثماني

لتمثيل الأرقام في نظام الأرقام الثماني، يتم استخدام ثمانية أرقام (0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7)، لأن قاعدة نظام الأرقام الثماني هي 8. يتم تنفيذ جميع العمليات باستخدام هذه الأرقام الثمانية. تتم عمليات الجمع والضرب في نظام الأعداد الثماني باستخدام الجداول التالية:

جداول الجمع والضرب في نظام الأعداد الثماني

العمليات الحسابية في نظام الأعداد الست عشري

لتمثيل الأرقام في نظام الأرقام السداسي العشري، يتم استخدام ستة عشر رقمًا: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، A، B، C، D، E، F. في النظام الست عشري ، العدد ستة عشر مكتوب بالرقم 10. إجراء العمليات الحسابية في النظام الست عشري هو نفسه كما في النظام العشري، ولكن عند إجراء العمليات الحسابية على أعداد كبيرة، من الضروري استخدام جداول لجمع وضرب الأرقام في نظام الأرقام الست عشري.

جدول الجمع في نظام الأرقام الست عشري

جدول الضرب في نظام الأعداد السداسي العشري