بیایید به عملیات حسابی اساسی نگاه کنیم: جمع، تفریق، ضرب و تقسیم.قوانین انجام این عملیات در سیستم اعشاری به خوبی شناخته شده است - اینها جمع، تفریق، ضرب در یک ستون و تقسیم بر یک زاویه هستند. این قوانین برای تمام سیستم های اعداد موقعیتی دیگر اعمال می شود. فقط باید از جداول جمع و ضرب مخصوص هر سیستم استفاده کنید.

1. اضافه

جداول اضافه با استفاده از قوانین شمارش آسان است.

هنگام جمع، اعداد با ارقام جمع می شوند و در صورت وجود اضافه به سمت چپ منتقل می شود.

مثال 1. بیایید اعداد 15 و 6 را در سیستم های اعداد مختلف جمع کنیم.

مثال 2. بیایید اعداد 15، 7 و 3 را جمع کنیم.

مثال 3. بیایید اعداد 141.5 و 59.75 را جمع کنیم.

پاسخ: 141.5 + 59.75 = 201.25 10 = 11001001.01 2 = 311.2 8 = C9.4 16

معاینه. مقادیر بدست آمده را به شکل اعشاری تبدیل کنید:

11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25

311,2 8 = 3 . 8 2 + 1 . 8 1 + 1 . 8 0 + 2 . 8 -1 = 201,25

C9.4 16 = 12 . 16 1 + 9 . 16 0 + 4 . 16 -1 = 201,25

2. تفریق

وامواحدهای مرتبه بالا

مثال 4. از اعداد 10 یک کم کنید 2 , 10 8 و 10 16

مثال 5. از اعداد 100 یک کم کنید 2 , 100 8 و 100 16 .

مثال 6. عدد 59.75 را از عدد 201.25 کم کنید.

پاسخ: 201.25 10 - 59.75 10 = 141.5 10 = 10001101.1 2 = 215.4 8 = 8D.8 16.

معاینه. بیایید تفاوت های حاصل را به شکل اعشاری تبدیل کنیم:

10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;

215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;

8D,8 16 = 8 . 16 1 + D . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.

توجه داشته باشید:
اگر سیستم های اعداد مختلف به شما داده شود، می توانید اقدامات را فقط در یک سیستم اعداد انجام دهید، ابتدا همه اعداد را به یک سیستم اعداد تبدیل کنید
اگر با یک سیستم اعدادی کار می کنید که پایه آن بزرگتر از 10 است و در مثال خود یک حرف دارید، به طور ذهنی آن را با یک عدد در سیستم اعشاری جایگزین کنید، عملیات لازم را انجام دهید و نتیجه را به سیستم اعداد اصلی تبدیل کنید.

اضافه شدن:
همه به یاد دارند که چگونه در مدرسه ابتدایی به ما یاد می دادند که در یک ستون، مکان به مکان اضافه کنیم. اگر هنگام جمع کردن یک رقم، عددی بزرگتر از 9 به دست می آمد، 10 را از آن کم می کردیم، نتیجه حاصل در پاسخ یادداشت می شد و 1 به رقم بعدی اضافه می شد. از این رو می توانیم قاعده ای را تدوین کنیم:

1. تا کردن در یک "ستون" راحت تر است
2. با جمع کردن مکان به مکان، اگر رقم موجود در مکان > از بزرگترین رقم الفبای یک سیستم اعداد معین بزرگتر باشد، پایه سیستم اعداد را از این عدد کم می کنیم.
3. نتیجه را در دسته بندی مورد نیاز می نویسیم
4. یک عدد را به رقم بعدی اضافه کنید

اضافه کردن 1001001110 و 100111101 در سیستم اعداد باینری

پاسخ: 1110001011

F3B و 5A را در نماد هگزادسیمال اضافه کنید

پاسخ: FE0

منها کردن: همه به یاد دارند که چگونه در مدرسه ابتدایی به ما یاد می دادند که ارزش مکانی را از ارزش مکانی کم کنیم. اگر هنگام تفریق یک رقم، عددی کمتر از 0 به دست می آمد، از بالاترین رقم یکی را قرض می گرفتیم و 10 را به رقم مورد نظر اضافه می کنیم و عدد مورد نیاز را از عدد جدید کم می کنیم. از این رو می توانیم قاعده ای را تدوین کنیم:

1. تفریق در یک "ستون" راحت تر است
2. اگر رقم در جای خود باشد، آن را به صورت مکان تفریق کنید< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. تفریق را انجام می دهیم

عدد 100111101 را از 1001001110 در سیستم اعداد باینری کم کنید.

پاسخ: D96

مهمتر از همه، فراموش نکنید که شما فقط اعداد یک سیستم اعداد معین را در اختیار دارید، و همچنین انتقال بین عبارات رقمی را فراموش نکنید.
ضرب:

ضرب در سیستم های اعداد دیگر دقیقاً به همان روشی اتفاق می افتد که ما به ضرب عادت کرده ایم.

1. ضرب کردن در یک "ستون" راحت تر است
2. ضرب در هر سیستم اعدادی از قوانین مشابه در سیستم اعشاری پیروی می کند. اما ما فقط می توانیم از الفبای داده شده توسط سیستم اعداد استفاده کنیم

10111 را در عدد 1101 در سیستم اعداد باینری ضرب کنید

جواب: 984E

جواب: 984E

بخش:

تقسیم در سایر سیستم های اعداد دقیقاً به همان روشی رخ می دهد که ما به تقسیم کردن عادت کرده ایم.

1. تقسیم در یک "ستون" راحت تر است
2. تقسیم در هر سیستم عددی از قوانین مشابه در سیستم اعشاری پیروی می کند. اما ما فقط می توانیم از الفبای داده شده توسط سیستم اعداد استفاده کنیم

مثال:

1011011 را بر 1101 در سیستم اعداد باینری تقسیم کنید

تقسیم کنید F 3 B برای شماره 8 در سیستم اعداد هگزادسیمال

مهمتر از همه، فراموش نکنید که شما فقط اعداد یک سیستم اعداد معین را در اختیار دارید، و همچنین انتقال بین عبارات رقمی را فراموش نکنید.

غیر موضعی

سیستم های اعداد غیر موقعیتی

سیستم های اعداد غیر موقعیتی ابتدا از نظر تاریخی ظاهر شدند. در این سیستم ها معنای هر کاراکتر دیجیتال ثابت است و به موقعیت آن بستگی ندارد. ساده ترین حالت یک سیستم غیر موقعیتی، سیستم واحد است، که برای آن از یک نماد واحد برای نشان دادن اعداد استفاده می شود، معمولاً یک میله، گاهی اوقات یک نقطه، که مقدار مربوط به عدد تعیین شده همیشه در آن قرار می گیرد:

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - ||| و غیره

بنابراین این یک شخصیت معنی دارد واحدها، که با جمع متوالی تعداد مورد نیاز به دست می آید:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

اصلاح سیستم واحد، سیستم دارای پایه است که در آن نمادهایی نه تنها برای تعیین واحد، بلکه برای درجات پایه نیز وجود دارد. به عنوان مثال، اگر عدد 5 به عنوان پایه در نظر گرفته شود، نمادهای اضافی برای نشان دادن 5، 25، 125 و غیره وجود خواهد داشت.

نمونه ای از چنین سیستم پایه 10 سیستم مصر باستان است که در نیمه دوم هزاره سوم قبل از میلاد بوجود آمد. این سیستم دارای هیروگلیف های زیر بود:

• قطب - واحدها،
• قوس - دهگان،
• برگ نخل - صدها،
• گل نیلوفر آبی - هزاران.

اعداد با جمع ساده به دست آمدند. بنابراین، برای تعیین شماره 3815، سه گل نیلوفر آبی، هشت برگ نخل، یک قوس و پنج تیر رسم شد. سیستم های پیچیده تر با علائم اضافی - یونانی قدیمی، رومی. رومی نیز از عنصری از سیستم موقعیتی استفاده می کند - یک عدد بزرگتر در مقابل یک کوچکتر اضافه می شود، یک عدد کوچکتر در مقابل یک بزرگتر کم می شود: IV = 4، اما VI = 6، با این حال، این روش، منحصراً برای نشان دادن اعداد 4، 9، 40، 90، 400، 900، 4000 و مشتقات آنها با جمع استفاده می شود.

سیستم‌های یونانی مدرن و روسی باستان از 27 حرف الفبا به عنوان اعداد استفاده می‌کردند، جایی که هر عدد را از 1 تا 9 و همچنین ده‌ها و صدها نشان می‌دادند. این رویکرد امکان نوشتن اعداد از 1 تا 999 را بدون تکرار اعداد فراهم کرد.

در سیستم قدیمی روسی از قاب های مخصوصی در اطراف اعداد برای نشان دادن اعداد بزرگ استفاده می شد.

سیستم شماره گذاری غیر موقعیتی تقریباً در همه جا به عنوان یک سیستم شماره گذاری کلامی استفاده می شود. سیستم های شماره گذاری کلامی به شدت با زبان گره خورده اند و عناصر مشترک آنها عمدتاً به اصول کلی و نام اعداد بزرگ (تریلیون و بالاتر) مربوط می شود. اصول کلی زیربنای شماره گذاری لفظی مدرن شامل تشکیل نام ها از طریق جمع و ضرب معانی اسامی منحصر به فرد است.

| علوم کامپیوتر و فناوری اطلاعات و ارتباطات | برنامه ریزی درسی و مواد درسی | کلاس 10 م | برنامه ریزی دروس برای سال تحصیلی (FSES) | عملیات حسابی در سیستم های اعداد موقعیتی

درس 15
§12. عملیات حسابی در سیستم های اعداد موقعیتی

عملیات حسابی در سیستم های اعداد موقعیتی

عملیات حسابی در سیستم های اعداد موقعیتی با پایه qطبق قوانین مشابه قوانین موجود در سیستم اعداد اعشاری انجام می شود.

در دبستان از جدول جمع و ضرب برای آموزش شمارش کودکان استفاده می شود. جداول مشابهی را می توان برای هر سیستم اعداد موقعیتی کامپایل کرد.

12.1. جمع اعداد در سیستم اعداد با پایه q

نمونه هایی از جداول جمع را در سیستم های اعداد سه تایی (جدول 3.2)، هشتی (جدول 3.4) و هگزا دسیمال (جدول 3.3) در نظر بگیرید.

جدول 3.2

جمع در سیستم اعداد سه تایی

جدول 3.3

جمع در سیستم اعداد هگزادسیمال

جدول 3.4

جمع در سیستم اعداد اکتالی

qمقدار را دریافت کنید اسدو عدد آو ب، باید ارقامی را که آنها را تشکیل می دهند با ارقام جمع کنید مناز راست به چپ:

اگر a i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
اگر a i + b i ≥ q، سپس s i = a i + b i - q، مهم ترین رقم (i + 1) با 1 افزایش می یابد.

مثال ها:

12.2. تفریق اعداد در سیستم عددی پایه q

به طوری که در یک سیستم اعداد با پایه qتفاوت را دریافت کنید آردو عدد آو که در، لازم است تفاوت بین ارقام تشکیل دهنده آنها را به صورت رقم محاسبه کرد مناز راست به چپ:

اگر a i ≥ b i، پس r i = a i - b i، مهم ترین رقم (i + 1)ام تغییر نمی کند.
اگر یک آی< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).

ماشین حساب به شما امکان می دهد اعداد کامل و کسری را از یک سیستم عددی به سیستم دیگر تبدیل کنید. پایه سیستم اعداد نمی تواند کمتر از 2 و بیشتر از 36 (10 رقم و 26 حرف لاتین) باشد. طول اعداد نباید بیشتر از 30 کاراکتر باشد. برای وارد کردن اعداد کسری از نماد استفاده کنید. یا، . برای تبدیل یک عدد از یک سیستم به سیستم دیگر، در فیلد اول عدد اصلی، در فیلد دوم پایه سیستم اعداد اصلی و در فیلد سوم پایه سیستم اعدادی که می‌خواهید عدد را به آن تبدیل کنید وارد کنید. سپس روی دکمه "دریافت رکورد" کلیک کنید.

شماره اصلی نوشته شده در 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 -ام سیستم اعداد.

من می خواهم شماره ای را در آن نوشته شود 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ام سیستم اعداد.

ورود دریافت کنید

ترجمه ها تکمیل شده: 3336969

همچنین ممکن است علاقه مند باشید:

• ماشین حساب جدول حقیقت SDNF. SKNF. چند جمله ای ژگالکین

سیستم های اعداد

سیستم های اعداد به دو نوع تقسیم می شوند: موضعیو موضعی نیست. ما از سیستم عربی استفاده می کنیم، این سیستم موضعی است، اما سیستم رومی نیز وجود دارد - این سیستم موضعی نیست. در سیستم های موقعیتی، موقعیت یک رقم در یک عدد به طور منحصر به فرد مقدار آن عدد را تعیین می کند. با نگاه کردن به برخی از اعداد به عنوان مثال، درک این موضوع آسان است.

مثال 1. بیایید عدد 5921 را در سیستم اعداد اعشاری در نظر بگیریم. بیایید عدد را از راست به چپ با شروع از صفر شماره گذاری کنیم:

عدد 5921 را می توان به شکل زیر نوشت: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . عدد 10 مشخصه ای است که سیستم اعداد را مشخص می کند. مقادیر موقعیت یک عدد معین به عنوان توان در نظر گرفته می شود.

مثال 2. عدد اعشاری واقعی 1234.567 را در نظر بگیرید. بیایید آن را با شروع از موقعیت صفر عدد از نقطه اعشار به چپ و راست شماره گذاری کنیم:

عدد 1234.567 را می توان به شکل زیر نوشت: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6·10 -2 +7·10 -3.

تبدیل اعداد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر

ساده ترین راه برای تبدیل یک عدد از یک سیستم اعداد به سیستم دیگر این است که ابتدا عدد را به سیستم اعداد اعشاری و سپس نتیجه حاصل را به سیستم اعداد مورد نیاز تبدیل کنید.

تبدیل اعداد از هر سیستم عددی به سیستم عددی اعشاری

برای تبدیل یک عدد از هر سیستم اعدادی به اعشاری، کافی است ارقام آن را شماره گذاری کنید، با صفر (رقم سمت چپ نقطه اعشار) مشابه مثال های 1 یا 2. بیایید مجموع حاصلضرب ارقام را پیدا کنیم. از عدد بر اساس سیستم اعداد به توان موقعیت این رقم:

1. عدد 1001101.1101 2 را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.
راه حل: 10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 - 4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
پاسخ: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. عدد E8F.2D 16 را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنید.
راه حل: E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
پاسخ: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر

برای تبدیل اعداد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر، قسمت های صحیح و کسری عدد باید جداگانه تبدیل شوند.

تبدیل یک عدد صحیح از یک عدد اعشاری به سیستم عددی دیگر

یک قسمت صحیح از یک سیستم اعداد اعشاری به سیستم اعداد دیگر با تقسیم متوالی قسمت صحیح یک عدد بر پایه سیستم اعداد تبدیل می شود تا زمانی که باقیمانده کامل کمتر از پایه سیستم اعداد بدست آید. نتیجه ترجمه یک رکورد باقیمانده خواهد بود که از آخرین مورد شروع می شود.

3. عدد 273 10 را به سیستم اعداد هشتگانه تبدیل کنید.
راه حل: 273 / 8 = 34 و باقیمانده 1. 34 / 8 = 4 و باقیمانده 2. 4 کمتر از 8 است، بنابراین محاسبه کامل است. رکورد موجود در ترازها به این صورت خواهد بود: 421
معاینه: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273، نتیجه یکسان است. یعنی ترجمه به درستی انجام شده است.
پاسخ: 273 10 = 421 8

بیایید ترجمه کسرهای اعشاری منظم را به سیستم های اعداد مختلف در نظر بگیریم.

تبدیل قسمت کسری یک عدد از سیستم اعداد اعشاری به سیستم عددی دیگر

به یاد بیاورید که کسر اعشاری مناسب نامیده می شود عدد واقعی با قسمت عدد صحیح صفر. برای تبدیل چنین عددی به یک سیستم اعداد با پایه N، باید عدد را به صورت متوالی در N ضرب کنید تا قسمت کسری به صفر برسد یا تعداد ارقام لازم به دست آید. اگر در حین ضرب، عددی با جزء صحیح غیر از صفر به دست آید، قسمت صحیح بیشتر در نظر گرفته نمی شود، زیرا به صورت متوالی در نتیجه وارد می شود.

4. عدد 0.125 10 را به سیستم اعداد باینری تبدیل کنید.
راه حل: 0.125·2 = 0.25 (0 قسمت صحیح است که به اولین رقم نتیجه تبدیل می شود)، 0.25·2 = 0.5 (0 رقم دوم نتیجه است)، 0.5·2 = 1.0 (1 رقم سوم است. از نتیجه، و از آنجایی که قسمت کسری صفر است، ترجمه کامل می شود).
پاسخ: 0.125 10 = 0.001 2

عملیات حسابی در سیستم اعداد باینری

قوانین انجام عملیات حسابی روی اعداد باینری با جداول جمع، تفریق و ضرب مشخص می شود.

قانون انجام عمل جمع برای همه سیستم های اعداد یکسان است: اگر مجموع ارقام اضافه شده بزرگتر یا مساوی با پایه سیستم اعداد باشد، واحد به رقم بعدی در سمت چپ منتقل می شود. هنگام تفریق، در صورت لزوم، وام بدهید.

عملیات حسابی به طور مشابه در سیستم های اعداد اکتال، هگزادسیمال و سایر سیستم ها انجام می شود. باید در نظر داشت که مقدار انتقال به رقم بعدی هنگام جمع و قرض گرفتن از بالاترین رقم هنگام تفریق با مقدار پایه سیستم اعداد تعیین می شود.

عملیات حسابی در سیستم اعداد اکتالی

برای نشان دادن اعداد در سیستم اعداد هشتی، از هشت رقم (0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7) استفاده می شود، زیرا پایه سیستم اعداد هشتی 8 است. تمام عملیات با استفاده از این هشت رقم انجام می شود. عملیات جمع و ضرب در سیستم اعداد اکتالی با استفاده از جداول زیر انجام می شود:

جداول جمع و ضرب در سیستم اعداد اکتالی

عملیات حسابی در سیستم اعداد هگزادسیمال

برای نمایش اعداد در سیستم اعداد هگزادسیمال، شانزده رقم استفاده می شود: 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، A، B، C، D، E، F. در سیستم هگزادسیمال عدد شانزده به صورت 10 نوشته می شود. انجام عملیات حسابی در سیستم هگزا دسیمال مانند سیستم اعشاری است، اما هنگام انجام عملیات حسابی روی اعداد بزرگ باید از جداول جمع و ضرب اعداد در سیستم اعداد هگزادسیمال استفاده کرد.

جدول جمع در سیستم اعداد هگزادسیمال

جدول ضرب در سیستم اعداد هگزادسیمال