実践でわかるように、二次関数のプロパティとグラフに関するタスクは深刻な問題を引き起こします。 これは非常に奇妙です。なぜなら、彼らは 8 年生で二次関数を勉強し、その後 9 年生の最初の四半期を通して放物線の特性を「苦しめ」、さまざまなパラメータのグラフを作成するからです。

これは、生徒に放物線の作成を強制するとき、実際にはグラフを「読む」ことに時間を費やしていない、つまり、画像から受け取った情報を理解する練習をしていないという事実によるものです。 どうやら、十数か 2 個のグラフを作成した後、賢い学生自身が式の係数とグラフの外観の間の関係を発見して定式化することが想定されています。 実際にはこれは機能しません。 このような一般化には、数学的なミニ研究における本格的な経験が必要ですが、もちろん、ほとんどの 9 年生はそのような経験を持っていません。 一方、州検査局は、スケジュールを使用して係数の符号を決定することを提案しています。

私たちは、学童に不可能なことを要求するのではなく、そのような問題を解決するためのアルゴリズムの 1 つを提供するだけです。

したがって、フォームの関数は y = ax 2 + bx + c二次関数と呼ばれ、そのグラフは放物線です。 名前が示すように、主な用語は次のとおりです。 斧2。 つまり あ残りの係数 ( bそして と) はゼロに等しくなります。

その係数の符号が放物線の外観にどのような影響を与えるかを見てみましょう。

係数の最も単純な依存関係 あ。 ほとんどの学童は自信を持って次のように答えます。 あ> 0 の場合、放物線の枝は上向きになります。 あ < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой あ > 0.

y = 0.5x 2 - 3x + 1

この場合 あ = 0,5

そして今、 あ < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

この場合 あ = - 0,5

係数の影響 と従うのもとても簡単です。 ある点における関数の値を見つけたいと想像してみましょう。 ×= 0。式にゼロを代入します。

y = ある 0 2 + b 0 + c = c。 判明したのは、 y = c。 つまり と放物線と y 軸の交点の縦座標です。 通常、この点はグラフ上で簡単に見つけることができます。 そして、それがゼロより上か下かを判断します。 つまり と> 0 または と < 0.

と > 0:

y = x 2 + 4x + 3

と < 0

y = x 2 + 4x - 3

したがって、もし と= 0 の場合、放物線は必ず原点を通過します。

y = x 2 + 4x

パラメーターを使用するとさらに難しくなります b。 それを見つける時点は、次のものだけではありません。 bでもまたから あ。 これが放物線の頂点です。 その横座標（軸座標） ×)は次の式で求められます。 x in = - b/(2a)。 したがって、 b = - 2ax インチ。 つまり、次のように進めます。グラフ上で放物線の頂点を見つけ、その横座標の符号を決定します。つまり、ゼロの右側を調べます ( ×で> 0) または左へ ( ×で < 0) она лежит.

しかし、それだけではありません。 係数の符号にも注意する必要があります あ。 つまり、放物線の枝がどこを向いているかに注目してください。 そしてその後初めて、公式に従って、 b = - 2ax インチサインを決める b.

例を見てみましょう:

枝が上を向いているということは、 あ> 0、放物線は軸と交差します でゼロ以下、つまり と < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, ×で> 0. それで b = - 2ax インチ = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: あ > 0, b < 0, と < 0.

グラフを使用して関数を調べる方法を見てみましょう。 グラフを見ると、次のような興味深いことがすべてわかることがわかります。

• 関数のドメイン
• 機能範囲
• 関数ゼロ
• 増加と減少の間隔
• 最大点と最小点
• セグメント上の関数の最大値と最小値。

用語を明確にしましょう。

横軸点の水平座標です。
縦数- 垂直座標。
横軸- 水平軸。最も一般的には軸と呼ばれます。
Y軸- 垂直軸、または軸。

口論- 関数の値が依存する独立変数。 最も頻繁に示されます。
つまり、 を選択し、式に関数を代入して を取得します。

定義のドメイン関数 - 関数が存在するそれらの (そしてそれらのみの) 引数値のセット。
または で示されます。

この図では、関数の定義領域はセグメントです。 関数のグラフが描かれるのはこのセグメント上です。 この機能が存在するのはここだけです。

機能範囲変数が取る値のセットです。 この図では、これは最低値から最高値までのセグメントです。

関数ゼロ- 関数の値がゼロになるポイント、つまり。 私たちの図では、これらは点と です。

関数の値は正ですどこ 。 この図では、これらは間隔 と です。
関数の値が負ですどこ 。 私たちにとって、これは から までの間隔 (または間隔) です。

最も重要な概念 - 関数の増加と減少あるセットで。 セグメント、区間、区間の和集合、または数直線全体をセットとして取得できます。

関数 増加する

つまり、 が多ければ多いほど、つまりグラフは右上がり、つまり右上がりになります。

関数 減少する集合上に存在し、その集合に属している場合、不等式は不等式を意味します。

減少関数の場合、より大きな値はより小さな値に対応します。 グラフは右下に向かっていきます。

この図では、関数は の区間で増加し、 と の区間で減少します。

それが何であるかを定義しましょう 関数の最大点と最小点.

最高点- これは定義領域の内部点であり、その中の関数の値はそれに十分近いすべての点よりも大きくなります。
言い換えれば、最大点は関数の値が最大となる点です。 もっと近隣のものよりも。 これは、チャート上の地元の「丘」です。

私たちの図には最大点があります。

最小点- 定義領域の内部点。その中の関数の値が、それに十分近いすべての点よりも小さくなります。
つまり、最小点は、その中の関数の値がその近傍の関数の値よりも小さくなるような点です。 これはグラフ上の局所的な「穴」です。

私たちの図には最小点があります。

ポイントは境界線です。 これは定義領域の内部点ではないため、最大点の定義には適合しません。 結局のところ、彼女の左側には隣人がいません。 同様に、チャート上に最小点は存在できません。

最大点と最小点を合わせて次のように呼びます。 関数の極値点。 私たちの場合、これは と です。

たとえば、次のようなものを見つける必要がある場合はどうすればよいですか。 最低限の機能セグメント上で？ この場合、答えは次のようになります。 なぜなら 最低限の機能は最小点での値です。

同様に、関数の最大値は です。 点 に到達します。

関数の極値は と に等しいと言えます。

場合によっては問題を見つける必要がある 関数の最大値と最小値特定のセグメント上で。 それらは必ずしも極値と一致するとは限りません。

私たちの場合 最小の関数値セグメント上の は関数の最小値に等しく、一致します。 ただし、このセグメントの最大値は に等しいです。 セグメントの左端に到達します。

いずれの場合も、セグメント上の連続関数の最大値と最小値は、セグメントの極値点または端点で得られます。

ゴルクノワ・オルガ・ミハイロヴナ

http://gorkunova.ucoz.ru

1. 図にグラフ化されている関数は次のうちどれですか?

3. グラフとゼロを比較する

2. 図に示されている関数は次のうちどれですか?

3. 関数 y = ax2 + bx + c のグラフから a の値を求めます。

y = a (x – m)2 + n

(m; n) – 放物線の頂点

1. (m; n) = (-1; 2) - 上

2. 値を式に代入します。

a (0 + 1)2 + 2 = 3 a = 3 – 2 a = 1

4. 関数 y = ax2 + bx + c のグラフから b の値を求めます。

横放物線の公式:

放物線方程式 y = ax 2 + bx + c を別の形式で書きます。

y = a (x – m)2 + n

(m; n) – 放物線の頂点 検索:

1. まず、係数 a を求めます。

(m; n) = (-1; 2) - 上

(x; y) = (0; 3) – 放物線の点

a (0 + 1)2 + 2 = 3

a = 3 – 2

a = 1

5. 関数 y = ax2 + bx + c のグラフから c の値を求めます。

(0; c) – 放物線と Oy 軸の交点

答え: c = 3

y = ax2 + bx + c

注: Oy との交点の縦座標に名前を付けることが常に可能であるとは限りません。

次の方法で値を検索します。

6. 関数 y k x? のグラフから k の値を求めます。

1.k< 0

(双曲線の枝は 2k と 4 つの四半期にあります)、

2. グラフ上の任意の点を選択します。例: A (1; -2)

7. 関数のグラフを示す図の番号を示します

y = x 2 – 2x + 3