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古来より実践的な問題を解く際には量と量を比較することが必要でした。 同時に、同質の量を比較する結果を表す、多い少ない、高い少ない、軽い重い、静かなうるさい、安い高い高いなどの言葉も登場しました。

「多い」と「少ない」という概念は、物体を数えたり、量を測定したり比較したりすることに関連して生まれました。 たとえば、古代ギリシャの数学者は、三角形の辺は他の 2 つの辺の合計より小さく、大きい辺は三角形の大きい角の反対側にあることを知っていました。 アルキメデスは、円周を計算する際に、円の周囲の長さは直径の 3 倍に等しく、超過分は直径の 7 分の 1 未満であるが、直径の 1070 倍を超えることを確立しました。

> と b の記号を使用して、数値と量の関係を象徴的に書きます。 2 つの数字がいずれかの記号で接続されている記録: > (より大きい)、低学年でも数字の不平等に遭遇しました。 不平等が真である場合もあれば、偽である場合もあることはご存知でしょう。 たとえば、 \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) は正しい数値不等式であり、0.23 > 0.235 は間違った数値不等式です。

未知数を含む不等式は、未知数の一部の値については真であり、他の値については偽である可能性があります。 たとえば、不等式 2x+1>5 は、x = 3 の場合は真ですが、x = -3 の場合は真ではありません。 未知数が 1 つある不等式の場合、不等式を解くというタスクを設定できます。 実際に不等式を解く問題は、方程式を解く問題と同じくらい頻繁に提起され、解決されます。 たとえば、多くの経済問題は、最終的には線形不等式システムの研究と解決に帰着します。 数学の多くの分野では、方程式よりも不等式の方が一般的です。

一部の不等式は、特定のオブジェクト (方程式の根など) の存在を証明または反証する唯一の補助手段として機能します。

数値不等式

整数と小数を比較できます。 分母は同じだが分子が異なる普通の分数を比較するための規則を理解します。 分子は同じですが分母が異なります。 ここでは、差の符号を見つけて 2 つの数値を比較する方法を学びます。

数値の比較は実際に広く使用されています。 たとえば、経済学者は計画された指標と実際の指標を比較し、医師は患者の体温と平熱を比較し、旋盤工は機械加工部品の寸法を標準と比較します。 このような場合はすべて、いくつかの数値が比較されます。 数値を比較した結果、数値の不平等が生じます。

意味。番号a さらに多くの数 b、a-b の差が正の場合。 a-b の差が負の場合、数値 a は数値 b より小さくなります。

a が b より大きい場合、a > b と書きます。 a が b より小さい場合、彼らは次のように書きます。 a したがって、不等式 a > b は、差 a - b が正であることを意味します。 a - b > 0。不等式 a 任意の 2 つの数値 a と b について、 次の3つ関係 a > b、a = b、a 数値 a と b を比較することは、記号 >、=、または記号のどれかを見つけることを意味します。 定理。 a > b かつ b > c の場合、a > c になります。

定理。不等式の両辺に同じ数を足しても、不等式の符号は変わりません。
結果。この項の符号を反対に変更することで、任意の項を不等式のある部分から別の部分に移動できます。

定理。不等式の両辺に同じ正の数を掛けた場合、不等式の符号は変わりません。 不等式の両側に同じ負の数を掛けると、不等式の符号が逆に変わります。
結果。不等式の両辺を同じ正の数で割った場合、不等式の符号は変わりません。 不等式の両辺を同じ負の数で割ると、不等式の符号が逆に変わります。

数値的等価性は項ごとに加算および乗算できることをご存知でしょう。 次に、不等式を使用して同様のアクションを実行する方法を学びます。 不等式を項ごとに加算および乗算する機能は、実際によく使用されます。 これらのアクションは、式の意味の評価と比較の問題を解決するのに役立ちます。

さまざまな問題を解くとき、不等式の左辺と右辺を項ごとに加算または乗算することが必要になることがよくあります。 同時に、不平等は足し算や倍増すると言われることもあります。 たとえば、観光客が 1 日目に 20 km 以上歩き、2 日目に 25 km 以上歩いた場合、2 日間で 45 km 以上歩いたと言えます。 同様に、長方形の長さが13 cm未満、幅が5 cm未満の場合、この長方形の面積は65 cm2未満であると言えます。

これらの例を検討する際には、次のものが使用されました。 不等式の加算と乗算に関する定理:

定理。同じ符号の不等式を加算すると、同じ符号の不等式が得られます。a > b および c > d の場合、a + c > b + d になります。

定理。左辺と右辺が正である同じ符号の不等式を掛けると、同じ符号の不等式が得られます。a > b、c > d および a、b、c、d が正の数の場合、ac > bd になります。

> (より大きい) および 1/2、3/4 b、c の記号を含む不等式 > および 厳密な不等式の記号と同様に、不等式 \(a \geq b \) は、数値 a が次のことを意味します。 b 以上、つまり b 未満ではありません。

\(\geq \) 記号または \(\leq \) 記号を含む不等式は非厳密と呼ばれます。 たとえば、 \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) は厳密な不等式ではありません。

厳密な不等式のすべてのプロパティは、非厳密な不等式にも有効です。 さらに、厳密な不等式の場合、符号は反対であるとみなされ、多くの応用問題を解決するには方程式または連立方程式の形式で数学モデルを作成する必要があることがわかっています。 次に、多くの問題を解決するための数学モデルは未知数を伴う不等式であることを学びます。 不等式を解く概念を紹介し、不等式を解くかどうかを確認する方法を示します。 指定された番号特定の不等式を解くこと。

形式の不平等
\(ax > b、a と b に数字が与えられ、x が未知数である \quad ax と呼ばれます 未知の 1 つを含む線形不等式.

意味。未知数が 1 つある不等式の解は、この不等式が真の数値不等式になる未知数の値です。 不等式を解くということは、その解をすべて見つけるか、解が存在しないことを確立することを意味します。

方程式を最も単純な方程式に還元して解きました。 同様に、不等式を解くときは、プロパティを使用して、不等式を単純な不等式の形に還元しようとします。

1 つの変数を使用して 2 次不等式を解く

形式の不平等
\(ax^2+bx+c >0 \) および \(ax^2+bx+c ここで、x は変数、a、b、c は数値、および \(a \neq 0 \) と呼ばれます。 1 変数による 2 次不等式.

不平等の解決
\(ax^2+bx+c >0 \) または \(ax^2+bx+c \) は、関数 \(y= ax^2+bx+c \) が正または負の値を取る区間を見つけるものと考えることができます。これを行うには、関数 \(y= ax^2+bx+c\) のグラフが座標平面内でどのように配置されているか、つまり放物線の枝が上向きか下向きか、どちらを向いているかを分析するだけで十分です。放物線が x 軸と交差するか、交差する場合はどの点で交差するか。

1 つの変数を使用して 2 次不等式を解くアルゴリズム:
1) 平方三項式 \(ax^2+bx+c\) の判別式を求め、三項式に根があるかどうかを調べます。
2) 三項式に根がある場合は、x 軸上にそれらをマークし、マークされた点を介して概略的な放物線を描きます。その枝は、> 0 の場合は上向き、0 の場合は下向き、または 3) の場合は下向きになります。放物線が x 軸の上にある (不等式 \(ax^2+bx+c >0\) を解く場合)、または x 軸の下にある (不等式を解く場合)、x 軸上の間隔を見つけます。不平等
\(ax^2+bx+c 区間法を使用して不等式を解く

機能を考えてみる
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

この関数の定義域はすべての数値の集合です。 関数のゼロは、数値 -2、3、5 です。これらは、関数の定義領域を区間 \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) と \( (5; +\infty)\)

示された各区間でこの関数の符号が何であるかを調べてみましょう。

式 (x + 2)(x - 3)(x - 5) は 3 つの要素の積です。 考慮中の区間におけるこれらの各要因の符号を表に示します。

一般に、関数は次の式で与えられます。
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n)、
ここで、x は変数、x 1、x 2、...、x n は互いに等しくない数値です。 数値 x 1 、 x 2 、 ...、 x n は関数のゼロです。 定義域が関数のゼロによって分割される各区間では、関数の符号が保持され、ゼロを通過するときにその符号が変わります。

このプロパティは、次の形式の不等式を解くために使用されます。
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0、
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) ここで、x 1、x 2、...、x n は互いに等しくない数値です。

検討した方法 不等式を解くことは区間法と呼ばれます。

区間法を使用して不等式を解く例を示します。

不等式を解く：

関数のゼロを数値軸にプロットし、各区間の符号を計算します。

関数がゼロ以下になる間隔を選択し、答えを書き留めます。

答え：
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)

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係数を使用した方程式と不等式

学校の代数学の基礎コースでは、最も単純な方程式やモジュライを使った不等式に遭遇するかもしれません。 これらを解決するには、\(|x-a| \) が点 x と a の間の数直線上の距離であるという事実に基づいた幾何学的手法を使用できます。 \(|x-a| = \rho (x;\; a) \)。 たとえば、方程式 \(|x-3|=2\) を解くには、点 3 から 2 の距離にある数直線上の点を見つける必要があります。そのような点は 2 つあります: \(x_1=1 \) と \(x_2=5\) 。

不等式 \(|2x+7| を解く

しかし、係数を使用して方程式と不等式を解く主な方法は、いわゆる「定義による係数の解明」に関連しています。
\(a \geq 0 \) の場合、 \(|a|=a \);
if \(a 原則として、法を含む方程式 (不等式) は、法符号を含まない方程式 (不等式) の集合に帰着します。

上記の定義に加えて、次のステートメントが使用されます。
1) \(c > 0\) の場合、方程式 \(|f(x)|=c \) は一連の方程式と等価です: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(配列)\right。
2) \(c > 0 \) の場合、不等式 \(|f(x)| 3) \(c \geq 0 \) の場合、不等式 \(|f(x)| > c \) は次のようになります。一連の不等式に相当します: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) 不等式 \(f(x) の両辺の場合 例 1. 方程式 \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\) を解きます。

\(x-1 \geq 0\) の場合、\(|x-1| = x-1\) となり、与えられた方程式は次の形式になります。
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \)。
\(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \) の場合。
したがって、指定された方程式は、示された 2 つのケースのそれぞれで個別に考慮する必要があります。
1) \(x-1 \geq 0 \) とします。つまり、 \(x\geq 1\)。 方程式 \(x^2 +2x -8 = 0\) から \(x_1=2, \; x_2=-4\) が求められます。 条件 \(x \geq 1 \) は、値 \(x_1=2\) によってのみ満たされます。
2) \(x-1 の答え: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \) とします。

例 2. 方程式 \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\) を解きます。

最初の方法(定義によるモジュール拡張)。
例 1 と同様に推論すると、\(x^2-6x+7 \geq 0 \) または \(x^2-6x+7) の 2 つの条件が満たされる場合、指定された方程式を個別に考慮する必要があるという結論に達します。

1) \(x^2-6x+7 \geq 0 \) の場合、\(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) となり、与えられた方程式は \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \)。 この二次方程式を解くと、\(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \) が得られます。
値 \(x_1=6\) が条件 \(x^2-6x+7 \geq 0\) を満たすかどうかを調べてみましょう。 これを行うには、指定された値を二次不等式に代入します。 \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \) が得られます。つまり、 \(7 \geq 0 \) は真の不等式です。 これは、\(x_1=6\) が指定された方程式の根であることを意味します。
値 \(x_2=\frac(5)(3)\) が条件 \(x^2-6x+7 \geq 0\) を満たすかどうかを調べてみましょう。 これを行うには、指定された値を二次不等式に代入します。 \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \) が得られます。 \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) は不正な不等式です。 これは、\(x_2=\frac(5)(3)\) が指定された方程式の根ではないことを意味します。

2) \(x^2-6x+7 値 \(x_3=3\) が条件 \(x^2-6x+7 値 \(x_4=\frac(4)(3) \) を満たさない場合条件 \ (x^2-6x+7 したがって、指定された方程式には 2 つの根があります: \(x=6, \; x=3 \)。

2番目の方法。方程式 \(|f(x)| = h(x) \) が与えられた場合、 \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right \)
これらの方程式は両方とも上記で (指定された方程式を解く最初の方法を使用して) 解かれており、その根は次のとおりです: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3)\)。 これら 4 つの値の条件 \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) は、6 と 3 の 2 つだけで満たされます。これは、指定された方程式には 2 つの根があることを意味します: \(x=6 , \; x=3 \ )。

第三の道（グラフィック）。
1) 関数 \(y = |x^2-6x+7| \) のグラフを作成してみましょう。 まず、放物線 \(y = x^2-6x+7\) を作成しましょう。 \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \) になります。 関数 \(y = (x-3)^2-2\) のグラフは、関数 \(y = x^2\) のグラフを右に 3 スケール単位シフトすることで取得できます。 x 軸に沿って)、2 スケール単位下に (y 軸に沿って)。 直線 x=3 は、注目する放物線の軸です。 として コントロールポイントより正確にプロットするには、放物線の頂点である点 (3; -2)、放物線の軸に対して対称な点 (0; 7) および点 (6; 7) を取得すると便利です。
ここで関数 \(y = |x^2-6x+7| \) のグラフを構築するには、構築された放物線の x 軸の下にない部分を変更せずに残し、その部分をミラーリングする必要があります。 x 軸に対して x 軸の下にある放物線。
2) グラフを作成しましょう 一次関数\(y = \frac(5x-9)(3)\)。 点 (0; –3) および (3; 2) を制御点として取得すると便利です。

直線と横軸の交点の点 x = 1.8 が、放物線と横軸の交点の左側の点の右側にあることが重要です。これは点 \(x=3-\ です) sqrt(2) \) (since \(3-\sqrt(2 ) 3) 図から判断すると、グラフは A(3; 2) と B(6; 7) の 2 点で交差します。これらの横軸を代入すると、点 x = 3 と x = 6 を与えられた方程式に入力すると、どちらの場合も別の値で正しい数値的等価性が得られると確信できます。これは、方程式には x = 3 と 2 つの根があることを意味します。 x = 6。答え: 3;

コメント. グラフィック手法優雅さはあるものの、あまり信頼できるものではありません。 検討した例では、方程式の根が整数であるという理由だけで機能しました。

例 3. 方程式 \(|2x-4|+|x+3| = 8\) を解きます。

最初の方法
式 2x–4 は点 x = 2 で 0 になり、式 x + 3 は点 x = –3 で 0 になります。 これら 2 つの点は、数直線を 3 つの区間に分割します: \(x

最初の間隔 \((-\infty; \; -3) \) を考えてみましょう。
x の場合、2 番目の間隔 \([-3; \; 2) \) を考慮します。
\(-3 \leq x の場合、3 番目の間隔を考慮します: \()