基本的な算術演算を見てみましょう。 足し算、引き算、掛け算、割り算。 10 進法でこれらの演算を実行するための規則はよく知られています。これらは、列による加算、減算、乗算、および角度による除算です。 これらの規則は、他のすべての位置番号体系に適用されます。 システムごとに特別な加算テーブルと乗算テーブルを使用するだけで済みます。

1.追加

加算テーブルは、カウント ルールを使用して簡単に作成できます。

足すときは桁ごとに合計し、余った場合は左に移します。

例1. 異なる記数法で 15 と 6 という数字を足してみましょう.

例2。 15、7、3 という数字を加えてみましょう。

例 3. 141.5 と 59.75 という数字を足してみましょう.

答え: 141.5 + 59.75 = 201.25 10 = 11001001.01 2 = 311.2 8 = C9.4 16

検査。 結果の金額を 10 進数形式に変換します:

11001001,01 2 = 2 7 + 2 6 + 2 3 + 2 0 + 2 -2 = 201,25

311,2 8 = 3 . 8 2 + 1 . 8 1 + 1 . 8 0 + 2 . 8 -1 = 201,25

C9.4 16 = 12 . 16 1 + 9 . 16 0 + 4 . 16 -1 = 201,25

2. 引き算

ローン上級ユニット

例4. 数字の10から1を引きます 2 , 10 8 そして10 16

例5。 100という数字から1を引く 2 , 100 8 そして100 16 .

例6。 数値 201.25 から数値 59.75 を引きます。

答え: 201.25 10 - 59.75 10 = 141.5 10 = 10001101.1 2 = 215.4 8 = 8D.8 16.

検査。 結果の差異を 10 進数形式に変換してみましょう。

10001101,1 2 = 2 7 + 2 3 + 2 2 + 2 0 + 2 -1 = 141,5;

215,4 8 = 2 . 8 2 + 1 . 8 1 + 5 . 8 0 + 4 . 8 -1 = 141,5;

8D、8 16 = 8 . 16 1+D . 16 0 + 8 . 16 -1 = 141,5.

注記：
アクションは 1 つの数体系でのみ実行できます。異なる数体系が指定されている場合は、まずすべての数を 1 つの数体系に変換してください。
基数が 10 より大きい記数法を使用していて、例に文字がある場合は、頭の中でそれを 10 進法の数値に置き換え、必要な操作を実行して、結果を元の記数法に変換します。

追加：
誰もが小学校で列を1カ所ずつ追加するように教えられたことを覚えています。 数字を足したときに 9 より大きい数字が得られた場合は、そこから 10 を引き、その結果を答えに書き留め、次の数字に 1 を加えます。 これから、ルールを定式化できます。

1. 「コラム」で折りたたむとさらに便利です
2. 場所ごとに加算し、その場所の桁が > 特定の記数体系のアルファベットの最大の桁より大きい場合、この数値からその記数体系の基数を減算します。
3. 必要なカテゴリに結果を書き込みます
4. 次の桁に 1 を加えます

1001001110 と 100111101 を 2 進数で加算します

答え: 1110001011

F3Bと5Aを16進数で追加

答え：FE0

減算: 誰もが小学校で列ごとに、位の値から位の値を引くように教えられたことを覚えています。 数字を引くときに 0 未満の数字が得られた場合は、最上位の数字から 1 を「借用」し、必要な数字に 10 を加え、新しい数字から必要な 1 を引きます。 これから、ルールを定式化できます。

1. 「列」で引くと便利です
2. 数字が所定の位置にある場合は、その位置で減算する< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. 引き算を行います

2 進法で 1001001110 から数値 100111101 を減算します。

答え: D96

最も重要なことは、自由に使えるのは特定の番号体系の番号だけであることを忘れないこと、また、数字の用語間の遷移についても忘れないことです。
乗算：

他の数体系での乗算は、私たちが慣れている乗算とまったく同じ方法で行われます。

1. 「列」で乗算すると便利です
2. 任意の数体系での乗算は、10 進数体系と同じ規則に従います。 ただし、使用できるのは番号体系によって与えられたアルファベットのみです

2進法で10111と1101を掛けます

答え: 984E

答え: 984E

分割：

他の記数法での割り算は、私たちが慣れている割り算とまったく同じ方法で行われます。

1. 「列」で区切るとさらに便利です
2. 任意の数体系の割り算は、10 進数の割り算と同じ規則に従います。 ただし、使用できるのは番号体系によって与えられたアルファベットのみです

例：

2進法で1011011を1101で割る

分ける F3 8番のB 16進数体系で

最も重要なことは、自由に使えるのは特定の番号体系の番号だけであることを忘れないこと、また、数字の用語間の遷移についても忘れないことです。

ノンポジション

非位置番号体系

非位置番号システムは歴史的に最初に登場しました。 これらのシステムでは、各デジタル文字の意味は一定であり、その位置に依存しません。 非位置系の最も単純なケースは単位系です。この単位系では、数値を表すために単一の記号 (通常はバー、場合によってはドット) が使用され、指定された数値に対応する量が常に配置されます。

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - ||| など

つまり、この一文字には意味があるのです 単位、必要な数値は連続加算によって得られます。

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

単位系を変更したものは底を伴う単位系であり、単位を指定するだけでなく、底の度数を表す記号も存在します。 たとえば、数字の 5 をベースにすると、5、25、125 などを示す追加の記号が存在します。

このような 10 進法の一例は、紀元前 3000 年紀後半に誕生した古代エジプトのものです。 この体系には次の象形文字がありました。

• 極 - ユニット、
• 弧 - 10、
• ヤシの葉 - 何百もの、
• 蓮の花 - 何千もの。

数値は単純な加算によって得られたものであり、順序は任意です。 したがって、たとえば 3815 という数字を指定するには、3 つの蓮の花、8 つのヤシの葉、1 つの弧、5 つのポールが描かれました。 追加の記号を備えたより複雑なシステム - 古いギリシャ語、ローマ字。 ローマ字も位置システムの要素を使用します。小さい数値の前にある大きい数値が加算され、大きい数値の前にある小さい数値が減算されます。IV = 4 ですが、VI = 6、ただし、この方法では、は、数字 4、9、40、90、400、900、4000、および加算によるそれらの派生を表すためにのみ使用されます。

現代のギリシャ語と古代ロシアのシステムでは、27 文字のアルファベットが数字として使用され、1 から 9 までの各数字と、10、100 を表していました。 このアプローチにより、数字を繰り返さずに 1 から 999 までの数字を書くことが可能になりました。

古いロシアのシステムでは、大きな数字を示すために数字の周りの特別な枠が使用されていました。

非位置番号付けシステムは、口頭番号付けシステムとして今でもほとんどどこでも使用されています。 口頭の番号付けシステムは言語と強く結びついており、それらの共通要素は主に一般原則と大きな数 (兆以上) の名前に関連しています。 現代の口頭番号付けの基礎となる一般原則には、一意の名前の意味の加算と乗算による指定の形成が含まれます。

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レッスン 15
§12. 位置番号系の算術演算

位置番号系の算術演算

基数を使用した位置記数系の算術演算 q 10 進数システムで有効な規則と同様の規則に従って実行されます。

小学校では、足し算や九九を使って数え方を教えます。 同様のテーブルは、任意の位置番号体系に対してコンパイルできます。

12.1. q を基数とする記数法における数値の加算

3 進数 (表 3.2)、8 進数 (表 3.4)、および 16 進数 (表 3.3) の加算テーブルの例を考えてみましょう。

表3.2

3進法における加算

表3.3

16進法での加算

表3.4

8 進数体系での加算

q金額を取得する S 2つの数字 あそして B、それらを構成する数字を数字ごとに合計する必要があります 私右から左へ:

a i + b i の場合< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
a i + b i ≥ q の場合、s i = a i + b i - q となり、最上位 (i + 1) 番目の桁が 1 増加します。

例:

12.2. q 進数体系での数値の減算

したがって、基数のある数値体系では q違いを理解する R 2つの数字 あそして で、数字ごとにそれらを形成する数字間の差を計算する必要があります 私右から左へ:

a i ≥ b i の場合、r i = a i - b i となり、最上位 (i + 1) 番目の桁は変わりません。
もし私が< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).

電卓を使用すると、整数と分数をある記数法から別の記数法に変換できます。 数体系の基数は 2 未満かつ 36 を超えることはできません (結局のところ、10 桁の数字と 26 のラテン文字)。 数字の長さは 30 文字を超えてはなりません。 小数を入力するには、記号を使用します。 または、 。 ある数値体系から別の数値体系に変換するには、最初のフィールドに元の数値を入力し、2 番目のフィールドに元の数値体系の基数を、3 番目のフィールドに数値を変換する数値体系の基数を入力します。次に「レコードを取得」ボタンをクリックします。

元の番号 で書かれています 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -番目の番号体系.

に数字を書き込んでもらいたい 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -番目の番号体系.

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番号体系

番号体系は次の 2 つのタイプに分類されます。 位置的なそして 位置的ではない。 私たちはアラビア語方式を使用しており、これは位置に基づいていますが、ローマ方式もあります。これは位置に依存しません。 位置システムでは、数値内の桁の位置によってその数値の値が一意に決まります。 これは、いくつかの数字を例として見ると理解しやすいです。

例1。 10 進数で 5921 という数字を考えてみましょう。 ゼロから始めて右から左に番号を付けてみましょう。

数値 5921 は次の形式で書くことができます: 5921 = 5000+900+20+1 = 5・10 3 +9・10 2 +2・10 1 +1・10 0 。 10 という数字は、番号体系を定義する特徴です。 指定された数値の位置の値が累乗として取得されます。

例 2。 実数 1234.567 を考えてみましょう。 小数点以下の数字のゼロの位置から左右に番号を付けてみましょう。

数値 1234.567 は次の形式で記述できます: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 + 6・10 -2 +7・10 -3 。

数値をある記数法から別の記数法に変換する

数値をある記数法から別の記数法に変換する最も簡単な方法は、まず数値を 10 進数法に変換し、次にその結果を必要な記数法に変換することです。

数値を任意の記数法から 10 進数法に変換する

数値を任意の記数系から 10 進数に変換するには、例 1 または 2 と同様に、ゼロ (小数点の左側の桁) から始まる桁に番号を付けるだけで十分です。桁の積の合計を求めてみましょう。数値の基数をこの桁の位置で乗ったもの:

1. 数値 1001101.1101 2 を 10 進数に変換します。
解決： 10011.1101 2 = 1・2 4 +0・2 3 +0・2 2 +1・2 1 +1・2 0 +1・2 -1 +1・2 -2 +0・2 -3 +1・2 - 4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
答え： 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. E8F.2D 16 という数値を 10 進数に変換します。
解決： E8F.2D 16 = 14・16 2 +8・16 1 +15・16 0 +2・16 -1 +13・16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
答え： E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

10 進表記法から別の表記法への数値の変換

数値を 10 進数システムから別の数値システムに変換するには、数値の整数部分と小数部分を個別に変換する必要があります。

数値の整数部分を 10 進数体系から別の数体系に変換する

整数部は、数値の整数部分をその記数系の底より小さい余りが得られるまでその記数系で順次除算することにより、10 進数体系から別の記数系に変換されます。 翻訳の結果は、最後のものから始まる残りのレコードになります。

3. 数値 273 10 を 8 進数体系に変換します。
解決： 273 / 8 = 34、余り 1。34 / 8 = 4、余り 2。4 は 8 より小さいので、計算は完了です。 天びんからの記録は次のようになります: 421
検査: 4・8 2 +2・8 1 +1・8 0 = 256+16+1 = 273 = 273、結果は同じです。 これは、翻訳が正しく行われたことを意味します。
答え： 273 10 = 421 8

通常の小数をさまざまな記数法に変換して考えてみましょう。

数値の小数部分を 10 進数体系から別の記数体系に変換する

適切な小数が呼び出されることを思い出してください。 整数部分がゼロの実数。 このような数値を N を基数とする記数法に変換するには、小数部分がゼロになるか、必要な桁数が得られるまで、数値に N を順番に乗算する必要があります。 乗算中にゼロ以外の整数部分を含む数値が得られた場合、整数部分は結果に順番に入力されるため、それ以上考慮されません。

4. 数値 0.125 10 を 2 進数系に変換します。
解決： 0.125・2 = 0.25（0は結果の1桁目となる整数部）、0.25・2 = 0.5（0は結果の2桁目）、0.5・2 = 1.0（1は3桁目）結果の小数部分が 0 であるため、翻訳は完了します)。
答え： 0.125 10 = 0.001 2

2 進数システムでの算術演算

2 進数に対して算術演算を実行するための規則は、加算、減算、乗算のテーブルによって指定されます。

加算演算を実行するための規則は、すべての記数体系で同じです。加算された桁の合計が記数体系の底以上の場合、単位は左側の次の桁に移されます。 引き算の際、必要に応じてローンを作成します。

算術演算は、8 進数、16 進数、およびその他の数体系でも同様に実行されます。 足し算の際の次の桁への移し、減算の際の最上位桁からの借入の金額は、記数体系の底の値によって決まることに注意する必要があります。

8 進数体系での算術演算

8 進数体系の基数は 8 であるため、8 進数体系で数値を表すには 8 桁 (0、1、2、3、4、5、6、7) が使用されます。 すべての演算はこれら 8 桁を使用して実行されます。 8 進数体系での加算と乗算の演算は、次の表を使用して実行されます。

8 進数体系における足し算と乗算の表

16 進数体系での算術演算

16 進数体系で数値を表すには、0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F の 16 桁が使用されます。 、数字の 16 は 10 と書きます。 16 進数での四則演算は 10 進数と同じですが、大きな数値の四則演算を行う場合は、16 進数の加算や乗算のテーブルを使用する必要があります。

16進数の加算表

16進数の九九