ブール関数の真理値表をオンラインで作成します。論理演算を実行する順序

入力データに対して何らかの論理演算を実行するように設計された電気回路は、論理要素と呼ばれます。ここで、入力データはさまざまなレベルの電圧の形で表現され、出力における論理演算の結果も、あるレベルの電圧の形で得られます。

この場合、オペランドが供給され、高レベルまたは低レベル電圧の形式の信号が論理要素の入力で受信され、本質的に入力データとして機能します。したがって、高レベル電圧 (論理 1) はオペランドの真の値を示し、低レベル電圧 0 (偽値) を示します。 1 - 真、0 - 偽。

ロジック要素- 入力信号と出力信号の間の特定の論理関係を実装する要素。論理素子は通常、コンピュータの論理回路や個別の自動監視・制御回路を構築するために使用されます。すべてのタイプの論理要素は、その物理的性質に関係なく、入力信号と出力信号の離散値によって特徴付けられます。

論理要素には 1 つ以上の入力と 1 つまたは 2 つの (通常は互いに反転した) 出力があります。論理要素の出力信号の「0」と「1」の値は、要素が実行する論理機能と、その役割を果たす入力信号の「0」と「1」の値によって決まります。独立変数の役割。複雑な論理関数を構成できる基本的な論理関数があります。

要素回路の設計、その電気的パラメータに応じて、入力と出力の論理レベル（高電圧レベルと低電圧レベル）は、高状態と低状態（真と偽）で同じ値を持ちます。

従来、論理要素は特別な無線コンポーネント、つまり集積回路の形で製造されてきました。論理積、論理和、否定、モジュロ加算 (AND、OR、NOT、XOR) などの論理演算は、主要なタイプの論理ゲートで実行される基本演算です。次に、これらのタイプの論理要素をそれぞれ詳しく見てみましょう。

論理要素「AND」 - 論理積、論理積、AND

「AND」は、入力されたデータに対して論理積演算または論理積演算を実行する論理要素です。この要素は 2 ～ 8 個の入力と 1 つの出力を持つことができます (実稼働環境で最も一般的なのは、2、3、4、および 8 個の入力を持つ「AND」要素です)。

入力数の異なる論理要素「AND」の記号を図に示します。本文では、特定の数の入力を持つ論理要素「AND」は、「2I」、「4I」などとして指定されます。つまり、2 つの入力を持つ「AND」要素、4 つの入力を持つ「AND」要素などです。

要素 2I の真理表は、論理 1 が最初の入力で同時に 2 番目の入力で存在する場合にのみ、要素の出力が論理 1 になることを示しています。残りの 3 つの可能なケースでは、出力はゼロになります。

西洋の図では、I 要素アイコンの入力には直線があり、出力には丸い線があります。国内の図では、記号「&」が付いた長方形。

論理要素「OR」 - 論理和、論理和、OR

「OR」は、入力データに対して論理和演算または論理和演算を実行する論理要素です。「I」要素と同様に、2 つ、3 つ、4 つなどの入力と 1 つの出力を使用できます。入力数の異なる論理要素「OR」の記号を図に示します。これらの要素は、2OR、3OR、4OR などのように指定されます。

「2OR」要素の真理値表は、論理 1 が出力に現れるには、論理 1 が最初の入力にある、または 2 番目の入力にあるだけで十分であることを示しています。 2 つの入力に同時に論理 1 がある場合、出力も 1 になります。

西洋の図では、「OR」要素アイコンには丸い入力と、丸い尖った出力があります。国内の図には、記号「1」の付いた四角形があります。

論理要素「NOT」 - 否定、インバータ、NOT

「NOT」は入力データの論理否定演算を行う論理要素です。この素子は出力が 1 つ、入力が 1 つだけあり、実際に入力信号を反転（反転）させるため、インバーターとも呼ばれます。図は論理要素「NOT」の記号を示しています。

インバータの真理表は、高い入力電位が低い出力電位を生成し、その逆も同様であることを示しています。

西洋の図では、「NOT」要素アイコンは、出力に円が付いた三角形の形状をしています。国内の図には、記号「1」の付いた長方形があり、出力には円が付いています。

論理素子「NAND」 - 論理積（論理積）と否定、NAND

「AND-NOT」は、入力データに対して論理和演算を実行し、その後論理否定演算を実行し、その結果を出力に送信する論理要素です。言い換えれば、これは基本的に「AND」要素であり、「NOT」要素によって補完されます。図は論理要素「2AND-NOT」の記号を示しています。

NAND ゲートの真理値表は、AND ゲートの真理値表の逆です。 3 つのゼロと 1 つの代わりに、3 つの 1 と 0 があります。 NAND 素子は、1913 年にその重要性に初めて注目した数学者ヘンリーモーリスシェーファーにちなんで「シェーファー素子」とも呼ばれます。「I」として示され、出力にのみ円が付けられます。

論理要素「OR-NOT」 - 否定との論理和（論理和）、NOR

「OR-NOT」は、入力データに対して論理和演算を実行し、その後論理否定演算を実行し、その結果を出力に送信する論理要素です。言い換えれば、これは「OR」要素に「NOT」要素、つまりインバータが補足されたものです。図は論理要素「2OR-NOT」の記号を示しています。

OR ゲートの真理値表は、OR ゲートの真理値表の逆です。高い出力電位は 1 つの場合にのみ得られます。低い電位が両方の入力に同時に適用されます。これは「OR」として指定され、出力の丸印のみが反転を示します。

論理ゲート「排他的 OR」 - 加算法 2、XOR

「排他的論理和」は、入力データに対して 2 を法とする論理和演算を行う論理要素であり、2 つの入力と 1 つの出力を持ちます。多くの場合、これらの要素は制御回路で使用されます。図はこの元素の記号を示しています。

欧米の回路のイメージは、入力側に追加の湾曲したストリップを備えた「OR」のようなものですが、国内の回路では「OR」のようなもので、「1」の代わりに「=1」が書き込まれるだけです。

この論理要素は「不等価性」とも呼ばれます。入力に信号が 2 つある場合でも、入力の信号が等しくない場合 (一方が 1、他方がゼロ、または一方がゼロで他方が 1) にのみ、出力に高電圧レベルが発生します。同時に出力はゼロになります。これが「OR」との違いです。これらの論理要素は加算器で広く使用されています。

今日はコンピューターサイエンスと呼ばれるテーマについて話します。真理値表、関数の種類、それらの実行順序 - これらが私たちの主な質問であり、この記事で答えを見つけようとします。

通常、このコースは高校で教えられますが、生徒数が多いため、いくつかの特徴が誤解されています。そして、これに人生を捧げるつもりなら、コンピュータサイエンスの統一国家試験に合格しないわけにはいきません。真理値表、複雑な式の変換、論理的問題の解決 - これらすべてがチケットで見つかります。ここで、このトピックをさらに詳しく見て、統一州試験でより多くのポイントを獲得できるように支援します。

論理の主体

コンピューターサイエンスとはどのような学問ですか? 真理値表 - どのように構築するか? なぜ論理学が必要なのでしょうか? これからこれらすべての質問に答えていきます。

コンピューターサイエンスは非常に魅力的な学問です。私たちの周りにあるすべてのものは、何らかの形でコンピューターに関連しているため、現代社会に問題を引き起こすことはできません。

論理科学の基礎は、高校の教師によってコンピューターサイエンスのクラスで教えられます。真理値表、関数、式の簡略化 - これらすべてはコンピューターサイエンスの教師によって説明される必要があります。この科学は私たちの生活に必要なものです。よく見てみると、すべてのものはいくつかの法則に従っています。ボールを投げると、ボールは上に飛びましたが、その後地面に戻ります。これは物理法則と重力によって起こります。お母さんはスープを作り、塩を加えます。なぜ食べても穀物が入らないのでしょうか？それは単純で、化学の法則に従い、塩が水に溶けます。

今度は話し方に注目してください。

「猫を獣医に連れて行けば、ワクチンを接種してもらえるでしょう。」
「テストが近づいていたので、今日はとても難しい日でした。」
「今日はコロキウムがあるから大学には行きたくない」など。

あなたが言うことはすべて論理の法則に従わなければなりません。これはビジネス会話にもフレンドリーな会話にも当てはまります。このため、ランダムに行動するのではなく、出来事の結果に自信を持って行動できるように、論理の法則を理解する必要があります。

機能

提示された問題の真理値表を作成するには、論理関数を知る必要があります。それは何ですか？論理関数にはステートメント (true または false) である変数がいくつかあり、関数自体の値によって「式は true か false?」という質問に対する答えが得られます。

すべての式は次の意味を持ちます。

正しいか間違っているか。
私かL。
1 または 0。
プラスかマイナス。

ここでは、自分にとってより便利な方法を優先してください。真理値表を構築するには、変数のすべての組み合わせをリストする必要があります。それらの数は、2 の n 乗という式で計算されます。計算の結果は、可能な組み合わせの数です。この式の変数 n は、条件内の変数の数を示します。式に多くの変数が含まれる場合は、電卓を使用するか、2 の累乗を使った小さな表を自分で作成できます。

ロジックには合計 7 つの関数または式を接続する接続があります。

乗算（結合）。
加算（論理和）。
結果（含意）。
等価。
反転。
シェーファー脳卒中。
ピアースの矢。

リストにある最初の演算は「論理乗算」と呼ばれます。逆チェックマーク、& または * の形でグラフィカルにマークできます。リストの 2 番目の演算は論理加算で、チェックマーク + で図示されています。この含意は論理的帰結と呼ばれ、条件から結果へ向かう矢印で示されます。等価性は双方向の矢印で示されます。関数は、両方の値が値「1」または「0」の場合にのみ真の値を持ちます。反転することを論理否定といいます。シェーファーストロークは結合を否定する関数と呼ばれ、パースの矢印は論理和を否定する関数と呼ばれます。

基本的な二項関数

論理真理値表は問題の答えを見つけるのに役立ちますが、そのためには二項関数の表を暗記する必要があります。それらについてはこのセクションで説明します。

結合（乗算）。 2 つある場合は、結果として真実が得られますが、それ以外の場合はすべて嘘が得られます。

論理和の結果が偽となるのは、2 つの入力データが偽の場合のみです。

論理的結果が偽となるのは、条件が真で結果が偽の場合のみです。ここで、人生の例を挙げることができます。「砂糖を買いたかったのですが、店が閉まっていた」ため、砂糖は購入されませんでした。

等価性は、入力データ値が同じである場合にのみ真となります。つまり、ペアの場合は「0;0」または「1;1」です。

反転の場合、すべてが基本的なものです。入力に true の式がある場合、それは false に変換され、その逆も同様です。画像は、それがどのようにグラフィカルに示されるかを示しています。

シファーストロークは、真の式が 2 つある場合にのみ偽の結果を生成します。

パースの矢印の場合、関数は、入力として false の式のみがある場合にのみ true になります。

論理演算を実行する順序

真理値表の構築と式の簡略化は、正しい順序で演算を行った場合にのみ可能であることに注意してください。どの順序で実行する必要があるかを覚えておいてください。これは正しい結果を得るために非常に重要です。

論理否定。
乗算;
追加;
結果;
等価;
乗算の否定 (シェーファーストローク);
加算の否定 (ピアースの矢)。

例その1

ここで、4 つの変数の真理値表を構築する例を検討することを提案します。 A+B+C*D ではなく、方程式の F=0 がどのような場合にあるかを調べる必要があります。

このタスクの答えは、「1;0;0;0」、「1;0;0;1」、および「1;0;1;0」の組み合わせのリストになります。ご覧のとおり、真理値表の作成は非常に簡単です。もう一度、アクションの順序に注意していただきたいと思います。この特定のケースでは、次のようになりました。

最初の単純な式の逆。
3 番目と 4 番目の式の接続詞。
2 番目の式と前の計算の結果との論理和。

例その2

次に、真理値表の構築が必要な別のタスクを見ていきます。コンピューターサイエンス (例は学校のコースから取得したもの) も課題として使用できます。そのうちの 1 つについて簡単に考えてみましょう。以下のことが分かっている場合、ワーニャはボールを盗んだ罪で有罪になりますか?

ヴァーニャが盗まなかった、またはペティアが盗んだ場合、セリョーザは窃盗に参加しました。
ワーニャが無罪なら、セリョージャはボールを盗んでいないことになる。

表記法を導入しましょう: 私 - ワーニャはボールを盗みました。 P - Petya が盗んだ。 S - セリョーザが盗んだ。

この条件に基づいて、次の方程式を作成できます。F=((notI+P) 含意 C)*(notI 含意 notC)。関数が true 値を取るオプションが必要です。次に、テーブルを作成する必要があります。この関数には 7 つものアクションがあるため、省略します。入力データと結果のみを入力します。

この問題では、「0」と「1」の代わりにプラス記号とマイナス記号を使用していることに注意してください。これも許容範囲です。 F=+ の組み合わせに興味があります。それらを分析すると、次の結論を導き出すことができます。F が + の値をとり、AND が正の値をとるため、ワーニャはボールを盗むのに参加しました。

例その3

ここで、F=1 の場合の組み合わせの数を見つけることをお勧めします。方程式は次のとおりです: F=notA+B*A+notB。真理値表を作成しましょう。

答え: 組み合わせは 4 通りあります。

複雑なステートメントの真理値表の構築。

論理演算の優先順位

1) 倒置 2) 接続 3) 分離 4) 含意と等価

真理値表を作成するにはどうすればよいですか?

定義によれば、論理式の真理値表は、考えられるすべての変数値のセットと式の値の間の対応関係を表します。

2 つの変数を含む数式の場合、変数値のセットは 4 つだけです。

(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

数式に 3 つの変数が含まれる場合、変数値のセットは 8 つあります (0, 0, 0)、(0, 0, 1)、(0, 1, 0)、(0, 1, 1)、 (1, 0, 0 )、(1, 0, 1)、(1, 1, 0)、(1, 1, 1)。

4 つの変数を含む式のセット数は 16 などです。

式の値を見つけるときに便利な記録形式は、変数の値と式の値に加えて、中間式の値も含むテーブルです。

例。

1. 式 96%" style="width:96.0%"> の真理値表を作成してみましょう。

表から明らかなように、 変数 x と y の値のすべてのセットについて、式は値 1 をとります。、つまり 真と同じ.

2. 96% 式の真理値表" style="width:96.0%">

表から明らかなように、 変数 x と y の値のすべてのセットについて、式は 値0を取る、つまり まったくもって偽り .

3. 96% 式の真理値表" style="width:96.0%">

表から明らかなように、 式 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

結論: 最後の列ですべての結果が得られました。これは、複雑なステートメントの意味が、単純なステートメント K と S のどの意味にも当てはまることを意味します。したがって、教師は論理的に正しく推論したことになります。

定義 1

論理関数– 変数が $1$ または $0$ の 2 つの値のいずれかを取る関数。

真理値表を使用して任意の論理関数を指定できます。可能なすべての引数のセットがテーブルの左側に書き込まれ、論理関数の対応する値が右側に書き込まれます。

定義 2

真理値表– 複合式に含まれる単純な式のすべての可能な値のセットに対して、その複合式がどのような値を取るかを示す表。

定義 3

同等真理値表の最後の列が一致するものは論理式と呼ばれます。同等であることは、$«=»$ 記号を使用して示されます。

真理値表をコンパイルするときは、次の論理演算の順序を考慮することが重要です。

写真1。

演算の実行順序では括弧が優先されます。

論理関数の真理値表を構築するアルゴリズム

行数を決定します。 行数= $2^n + 1$ (タイトル行用), $n$ – 単純な式の数。たとえば、2 つの変数の関数の場合は変数値のセットの $2^2 = 4$ の組み合わせがあり、3 つの変数の関数の場合は $2^3 = 8$ になります。

列の数を決定します。 列の数 = 変数の数 + 論理演算の数。論理演算の数を決定するときは、それらの実行順序も考慮されます。

論理演算の結果を列に入力します。基本的な論理演算の真理値表を考慮して、特定の順序で実行します。

図2。

例1

論理式 $D=\bar(A) \vee (B \vee C)$ の真理値表を作成します。

解決：

行数を決定してみましょう。

行数 = $2^3 + 1=9$。

変数の数 – $3$。

逆数 ($\bar(A)$);
選別、なぜなら括弧内にあります ($B \vee C$)。
disjunction ($\overline(A)\vee \left(B\vee C\right)$) は必須の論理式です。

列の数 = $3 + 3=6$.

論理演算の真理値表を考慮して表を埋めてみましょう。

図3.

例 2

この論理式を使用して、真理値表を作成します。

解決：

行数を決定してみましょう。

単純な式の数は $n=3$ です。つまり、

行数 = $2^3 + 1=9$.

列の数を決定してみましょう。

変数の数 – $3$。

論理演算の数とその順序:

否定 ($\bar(C)$);
選別、なぜなら括弧内にあります ($A \vee B$)。
結合 ($(A\vee B)\bigwedge \overline(C)$);
否定。$F_1$ ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))$); で表します。
論理和 ($A \vee C$);
論理積 ($(A\vee C)\bigwedge B$);
否定。$F_2$ ($\overline((A\vee C)\bigwedge B)$); で表します。
disjunction は目的の論理関数 ($\overline((A\vee B)\bigwedge \overline(C))\vee \overline((A\vee C)\bigwedge B)$) です。

絶対にすべてのデジタル超小型回路は、デジタルノードの「構成要素」である同じ論理要素で構成されています。それが今からお話しすることです。

ロジック要素- これは、複数の入力と 1 つの出力を持つ回路です。入力における信号の各状態は、出力における特定の信号に対応します。

では、要素とは何でしょうか？

要素「AND」

それ以外の場合は「結合子」と呼ばれます。

その仕組みを理解するには、入力信号の任意の組み合わせに対する出力状態をリストした表を描く必要があります。このテーブルは「」と呼ばれます 真理値表」真理値表は、論理回路の動作を記述するためにデジタル技術で広く使用されています。

「AND」要素とその真理値表は次のようになります。

ロシアとブルジョワ技術者の両方とコミュニケーションをとる必要があるため。ドキュメントでは、当社の標準と当社以外の標準の両方に従って、要素の記号グラフィックシンボル (GID) を提供します。

私たちは真理表を見て、その原理を脳内で解明します。理解するのは難しくありません。「AND」要素の出力の単位は、単位が両方の入力に供給された場合にのみ発生します。これは要素の名前を説明しています。ユニットは一方の入力ともう一方の入力の両方に存在する必要があります。

少し別の見方をすると、次のように言えます。「AND」要素の入力の少なくとも 1 つにゼロが適用された場合、その出力はゼロになります。覚えておきましょう。どうぞ。

OR要素

別の言い方をすると、彼は「分離者」と呼ばれます。

私たちは次のように賞賛します。

繰り返しになりますが、名前自体がそれを物語っています。

ユニットが一方に、またはもう一方に、または両方の入力に同時に適用されると、ユニットが出力に表示されます。この要素は、負論理の「AND」要素とも呼ばれます。その出力のゼロは、1 番目の入力と 2 番目の入力の両方に 0 が供給された場合にのみ発生します。

注要素

「インバータ」と呼ばれることが多いです。

彼の仕事について何か言う必要はありますか?

NAND素子

NAND ゲートは AND ゲートとまったく同じように機能しますが、出力信号が完全に逆であるだけです。「AND」要素の出力が「0」である必要がある場合、「AND-NOT」要素の出力は「1」である必要があります。およびその逆。これは、素子の等価回路から簡単に理解できます。

要素「NOR」（NOR）

同じ話 - 出力にインバータを備えた「OR」要素。

次の仲間はもう少し狡猾です。
排他的論理和要素 (XOR)

彼はこんな人です:

実行される演算は、「加算モジュロ 2」と呼ばれることがよくあります。実際、デジタル加算器はこれらの要素に基づいて構築されています。

真理値表を見てみましょう。出力ユニットはいつですか? 正解: 入力に異なる信号がある場合。一方では-1、もう一方では-0。それほど彼は狡猾です。

等価回路は次のようになります。

暗記する必要はありません。

実際、これらは主な論理要素です。あらゆるデジタル超小型回路は、それらに基づいて構築されています。お気に入りの Pentium 4 でも。

そして最後に、デジタル要素を含むいくつかの超小型回路です。マイクロ回路の対応する脚の番号は、要素の端子の近くに示されています。ここにリストされているすべてのチップには 14 個のレッグがあります。電源は脚 7 (-) と 14 (+) に供給されます。供給電圧 – 前の段落の表を参照してください。

ブール関数の真理値表をオンラインで作成します。 論理演算を実行する順序