線形独立行列行の最大数。 スラウ理論

行と列 行列として見ることができます 行行列そしてそれに応じて、 列行列。 したがって、他の行列と同様に、それらに対しても次のことを実行できます。 線形演算。 加算演算の制限は、行 (列) が同じ長さ (高さ) でなければならないことですが、この条件は、同じ行列の行 (列) については常に満たされます。

行 (列) の線形演算により、式 α 1 a 1 + ... + α s a s の形式で行 (列) を構成できます。ここで、a 1, ..., a s は任意の行 (列) のセットです。 ) は同じ長さ (高さ) であり、α 1 , ..., α s は実数です。 このような表現はこう呼ばれます 行（列）の線形結合.

定義 12.3. 行(列) 1、...、s が呼び出されます 線形に独立しており、平等なら

α 1 a 1 + ... + α s a s = 0、(12.1)

ここで、右側の 0 はゼロの行 (列) であり、α 1 = ... = a s = 0 の場合にのみ可能です。それ以外の場合は、ゼロに等しくない実数 α 1 、...、α s がある場合です。同時に、等式 (12.1) が満たされると、これらの行 (列) は と呼ばれます。 線形依存性.

次のステートメントは線形依存性テストとして知られています。

定理12.3。行 (列) a 1、...、a s、s > 1 は、そのうちの少なくとも 1 つが他の行 (列) の線形結合である場合に限り、線形従属になります。

◄ 行の証明を実行します。列についても同様です。

必要性。 文字列 a 1 , ..., a s が線形従属である場合、定義 12.3 によれば、同時にゼロに等しくない実数 α 1 , ..., α s が存在します。 a 1 +... + α s a s = 0。ゼロ以外の係数 αα i を選択しましょう。 具体的には、これをα １ とする。 この場合、α 1 a 1 = (-α 2)a 2 + ... + (-α s)a s となり、したがって、a 1 = (-α 2 /α 1)a 2 + ... + (-α s /α 1)a s 、つまり 文字列 a 1 は、残りの文字列の線形結合として表されます。

適切性。 たとえば、a 1 = λ 2 a 2 + ... + λ s a s とします。 この場合、1a 1 + (-λ 2)a 2 + ... +(-λ s)a s = 0 となります。線形結合の最初の係数は 1 に等しくなります。 それはゼロではありません。 定義 12.3 によれば、文字列 a 1 、...、a s は線形従属です。

定理12.4。行（列） a 1 、...、a s を線形独立とし、行（列） b 1 、...、b l の少なくとも 1 つをそれらの線形結合とする。 この場合、すべての行 (列) a 1、...、a s、b 1、...、b l は線形従属になります。

◄ たとえば、b 1 が a 1、...、a s の線形結合であるとします。 b 1 = α 1 a 1 + ... + α s a s 、α i ∈R、i = 1,s 。 この線形結合に、係数ゼロの行 (列) b 2、...、b l (l > 1 の場合) を追加します。 b 1 = α 1 a 1 + ... + α s a s + 0b 2 + ... + 0bl。 定理 12.3 によれば、行 (列) a 1 , ..., a s , b 1 , ..., b i は線形従属です。

行列行の線形独立性

サイズ行列が与えられた場合

行列の行を次のように表します。

2 つの行は次のように呼ばれます。 等しい 、対応する要素が等しい場合。 。

要素ごとに実行される演算として、文字列に数値を乗算し、文字列を加算する演算を紹介します。

意味。行が、これらの行と任意の実数 (任意の数値) との積の合計に等しい場合、その行は行列行の線形結合と呼ばれます。

意味。行列の行は次のように呼ばれます。 線形依存性 、行列行の線形結合がゼロ行と等しくなるように、同時にゼロに等しくない数値がある場合:

どこ 。 (1.1)

行列の行の線形依存性とは、行列の少なくとも 1 行が残りの行の線形結合であることを意味します。

意味。すべての係数が である場合に限り、行の線形結合 (1.1) がゼロに等しい場合、その行は呼び出されます。 線形独立 .

行列の順位定理. 行列のランクは、他のすべての行 (列) が線形的に表現される、線形的に独立した行または列の最大数に等しくなります。

この定理は行列解析、特に連立一次方程式の研究において基本的な役割を果たします。

6、13、14、15、16。 ベクトル。 ベクトルの演算 (加算、減算、数値による乗算)、n -次元ベクトル。 ベクトル空間の概念とその基礎。

ベクトルは始点を持つ有向線分です あそして終点 で(それ自体と平行に移動できます)。

ベクトルは、2 つの大文字、または 1 つの小文字と線または矢印のいずれかで指定できます。

長さ（またはモジュール） ベクトルは、ベクトルを表す線分 AB の長さに等しい数値です。

同じ線上または平行線上にあるベクトルを と呼びます。 同一直線上にある .

ベクトルの始まりと終わりが一致する場合 ()、そのようなベクトルは と呼ばれます。 ゼロ = で表されます。 ゼロベクトルの長さはゼロです。

1) ベクトルと数値の積:

の場合はベクトルの方向と一致し、 の場合はその逆の長さを持つベクトルが存在します。

2) 反対のベクトル - ベクトルと数値 (-1) の積と呼ばれます。つまり、 -=。

3) 2 つのベクトルの合計 そしてベクトルが呼び出されます。その開始はベクトルの開始と一致し、終了はベクトルの終了と一致します (開始が終了と一致する場合)。 （三角形の法則）。 いくつかのベクトルの合計も同様に求められます。

4) 2つのベクトルの差 そして は、ベクトルとベクトル - の和、反対と呼ばれます。

スカラー積

意味: 2 つのベクトルのスカラー積は、これらのベクトルの長さとそれらの間の角度の余弦の積に等しい数値です。

n次元ベクトルとベクトル空間

意味。 n 次元ベクトルは順序付けられたコレクションです n フォームに書かれた実数 x = (x 1,x 2,…,x n)、 どこ x i – 私 ベクトルの - 番目の成分 バツ.

n 次元ベクトルの概念は経済学で広く使用されており、たとえば、特定の商品セットはベクトルによって特徴付けることができます。 x = (x 1,x 2,…,x n),およびそれに対応する価格 y = (y 1,y 2,…,y n)。

- 2 つの n 次元ベクトルは等しい 対応するコンポーネントが等しい場合にのみ、つまり、 x=y、xの場合 私= y 私, 私 = 1,2,…,n.

- 2 つのベクトルの合計 同じサイズ nベクトルと呼ばれる z = x + y、その成分は被加数ベクトルの対応する成分の合計に等しい、つまり z 私= x 私+y 私、i = 1、2、…、 n.

- ベクトル x と実数の積 は、その成分がベクトルの対応する成分の積に等しいベクトルと呼ばれます。 、 私= 1,2,…,n.

任意のベクトルに対する線形演算は、次の特性を満たします。

1) - 和の可換(可換)性質。

2) - 合計の結合（組み合わせ）特性。

3) - 数値因子に関する結合特性。

4） - ベクトルの合計に対する分配（分配）特性。

5) - 数値因子の合計に関する分配特性。

6) あらゆるベクトルに対して次のようなゼロ ベクトルが存在します (ゼロ ベクトルの特別な役割)。

7) 任意のベクトルに対して、次のような反対のベクトルが存在します。

8) 任意のベクトル (数値係数 1 の特別な役割)。

意味。 上記の 8 つの性質 (公理とみなされる) を満たす数値をベクトルに加算したり、ベクトルに乗算したりする演算が定義されている、実数成分を持つベクトルの集合は、と呼ばれます。 ベクトル状態 .

ベクトル空間の次元と基底

意味。 線形空間と呼ばれます n次元 、存在する場合 n線形独立ベクトルであり、ベクトルのいずれかがすでに依存しています。 言い換えると、 空間の次元 は、それに含まれる線形独立ベクトルの最大数です。 数値 n は空間の次元と呼ばれ、 で表されます。

n 次元空間内の n 個の線形独立ベクトルのセットはと呼ばれます。 基礎 .

7. 行列の固有ベクトルと固有値。 行列の特性方程式。

意味。 ベクトルは次のように呼ばれます 固有ベクトル 次のような数値がある場合の線形演算子:

その番号を適正といいます 演算子の値 (行列 あ)、ベクトル に対応します。

行列形式で書くことができます。

ここで、 はベクトル座標の列行列、または拡張形式です。

右側にゼロが来るようにシステムを書き直してみましょう。

または行列形式: 。 結果として得られる均質なシステムは常にゼロ解を持ちます。 非ゼロ解が存在するには、系の行列式が以下であることが必要かつ十分です。

行列式は多項式です nに対する 番目の度。 この多項式は次のように呼ばれます 演算子の特性多項式 または行列 A の場合、結果として得られる方程式は次のようになります。 演算子の特性方程式 または行列 A。

例：

行列で与えられた線形演算子の固有値と固有ベクトルを求めます。

解決策: 特性方程式を作成します。 または 、そこから線形演算子の固有値。

固有値に対応する固有ベクトルを見つけます。 これを行うには、行列方程式を解きます。

または 、または 、次の場所から: 、または

または 。

を仮定すると、任意のベクトル が固有値を持つ線形演算子の固有ベクトルであることがわかります。

同様に、 をベクトルします。

8. システム Pとの一次方程式 P変数 (一般的なビュー)。 そんなシステムをマトリクス形式で記録。 システムソリューション (定義)。 一貫したものと互換性のないもの、明確な一次方程式系と不明確な一次方程式系。

未知数を含む連立一次方程式を解く

連立一次方程式は経済学で広く使用されています。

変数を含む一次方程式系は次の形式になります。

,

ここで、() は任意の番号です。 変数の係数 そして 方程式の自由項 、 それぞれ。

簡単なエントリ: ()。

意味。システムの解はそのような値のセットであり、これを代入するとシステムの各方程式が真の等式になります。

1) 連立方程式は次のように呼ばれます。 ジョイント 少なくとも 1 つの解決策がある場合、および 非接合解決策がない場合。

2) 連立方程式系は次のように呼ばれます。 ある 独自の解決策がある場合、そして 不確かな 複数の解決策がある場合。

3) 2 つの方程式系が呼び出されます。 同等 (同等) 、同じソリューションのセット (たとえば、1 つのソリューション) がある場合。

システムを行列形式で書いてみましょう。

次のように示しましょう: 、 どこ

あ– 変数の係数の行列、またはシステムの行列、 バツ – 変数の行列列、 で – 無料会員のマトリックス列。

なぜなら 行列の列数が行列の行数と等しい場合、その積は次のようになります。

列マトリックスがあります。 結果として得られる行列の要素は、初期システムの左側の部分です。 行列の等価性の定義に基づいて、初期システムは次の形式で記述できます。

クラマーの定理. をシステムの行列の行列式とし、 を 番目の列を自由項の列に置き換えることによって行列から得られる行列の行列式とします。 次に、 の場合、システムには次の式によって決定される固有の解決策があります。

クレーマーの公式。

例。 Cramer の公式を使用して連立方程式を解く

解決。 システム行列の決定要因。 したがって、このシステムには独自のソリューションがあります。 1 番目、2 番目、3 番目の列をそれぞれ自由項の列に置き換えて得られる を計算してみましょう。

クレイマーの公式によれば、次のようになります。

9. システムを解くためのガウス法n との一次方程式 P変数。 ジョルダン・ガウス法の概念。

ガウス法 - 変数を順次削除する方法。

ガウス法は、基本的な行変換と列の置換を使用して、方程式系をステップ (または三角形) 形式の等価な系に変換し、そこから他のすべての変数を最後の変数 (数値による）変数。

方程式そのものではなく、自由項の列を行列に割り当てることで得られる係数の拡張行列を使用してガウス変換を実行すると便利です。

.

ガウス法は次の形式の方程式系を解くことができることに注意してください。 .

例。 ガウス法を使用してシステムを解きます。

システムの拡張行列を書き留めてみましょう.

ステップ1 . 1行目と2行目を入れ替えて1にしましょう。

ステップ2。 最初の行の要素に (-2) と (-1) を掛けて、2 行目と 3 行目の要素に加算し、最初の列の要素の下にゼロが表示されるようにします。 。

連立一次方程式系では、次の定理が当てはまります。

定理1.結合システムの行列のランクが変数の数と等しい場合、つまり、 の場合、システムには独自のソリューションがあります。

定理2.結合システムの行列のランクが変数の数より小さい場合、つまり、 の場合、システムは不確実であり、無限の数の解があります。

意味。行列の基底マイナーは、次数が行列のランクと等しい非ゼロのマイナーです。

意味。係数が基本マイナーの表記に含まれる未知数は基本 (または基本) と呼ばれ、残りの未知数は自由 (または非基本) と呼ばれます。

この場合、連立方程式を解くということは、 と (それらの係数で構成される行列式はゼロに等しくないため) を表現することを意味し、 と は自由未知数になります。

基本変数を自由変数で表現してみましょう。

結果の行列の 2 行目から変数を表します。

最初の行から次のように表現します。

連立方程式の一般解: 、 。

行列の行と列は次元の算術ベクトルとみなすことができることに注意してください。 メートルそして n、 それぞれ。 したがって、サイズ行列はセットとして解釈できます。 メートル n-次元または n メートル-次元の算術ベクトル。 幾何学的ベクトルとの類推により、行列の行と列の線形依存性と線形独立性の概念を導入します。

4.8.1. 意味。 ライン
呼ばれた 文字列の線形結合オッズ付き
、この行のすべての要素が次の等しい場合:

,
.

4.8.2. 意味。

文字列
呼ばれます 線形依存性、ゼロ行に等しいそれらの自明ではない線形結合がある場合、つまり すべてがゼロに等しくない数字があります

,
.

4.8.3. 意味。

文字列
呼ばれます 線形独立、自明な線形結合のみがゼロ行と等しい場合、つまり

,

4.8.4. 定理。 (行列行の線形依存性の基準)

行が線形従属であるためには、行の少なくとも 1 つが他の行の線形結合であることが必要かつ十分です。

証拠：

必要性。線を引きましょう
が線形依存している場合、ゼロ行に等しいそれらの自明ではない線形結合が存在します。

.

一般性を失わずに、線形結合の最初の係数がゼロ以外であると仮定します (そうでない場合は、行の番号を付け直すことができます)。 この比率をで割ると、 、 我々が得る

,

つまり、最初の行は他の行の線形結合です。

適切性。たとえば、そのうちの 1 行を次のようにします。 、は他のものの線形結合であるため、

つまり、自明ではない文字列の線形結合が存在します。
、ゼロ文字列に等しい:

つまりラインを意味します
は線形に依存しており、これを証明する必要があります。

コメント。

同様の定義とステートメントを行列の列に対して定式化できます。

§4.9。 マトリックスのランク。

4.9.1. 意味。 マイナー注文 行列 サイズ
順序決定因子と呼ばれる 要素がその一部の交差点に配置されている 線と 列。

4.9.2. 意味。 ゼロ以外のマイナー順序 行列 サイズ
呼ばれた 基本的な マイナー、行列のすべてのマイナーが順序どおりである場合
はゼロに等しい。

コメント。 行列には複数の基底マイナーを含めることができます。 明らかに、それらはすべて同じ順序になります。 マトリックスが サイズ
マイナーな注文 ゼロとは異なり、未成年者は正常です
存在しない、つまり
.

4.9.3. 意味。 基底マイナーを形成する行（列）は、と呼ばれます。 基本的な行(列)。

4.9.4. 意味。 ランク行列の次数を基底副次数といいます。 マトリックスランク で示される
または
.

コメント。

行列式の行と列が等しいため、行列の順位は転置されても変化しないことに注意してください。

4.9.5. 定理。 (初等変換における行列ランクの不変性)

行列のランクは、基本的な変換中には変化しません。

証拠はありません。

4.9.6. 定理。 （基本マイナーについて）。

基礎となる行 (列) は線形に独立しています。 行列の任意の行 (列) は、その基本的な行 (列) の線形結合として表すことができます。

証拠：

文字列の証明をしてみましょう。 列のステートメントの証明は類推によって実行できます。

マトリックスの順位を考えてみましょう サイズ
等しい 、A
− 基本マイナー。 一般性を失わずに、基底マイナーが左上隅にあると仮定します (そうでない場合、行列は基本変換を使用してこの形式に縮小できます)。

.

まず、基底行の線形独立性を証明しましょう。 矛盾による証明を行います。 基底行が線形依存していると仮定します。 次に、定理 4.8.4 に従って、文字列の 1 つは残りの基本文字列の線形結合として表すことができます。 したがって、この行から指定された線形結合を減算すると、ゼロ行が得られます。これは、マイナー
はゼロに等しく、基底マイナーの定義に矛盾します。 このようにして矛盾が得られたため、基底行の線形独立性が証明されました。

ここで、行列のすべての行が基底行の線形結合として表現できることを証明しましょう。 問題の行番号が 1から rそうすると、明らかに、線の係数が 1 に等しい線形結合として表すことができます。 残りの行の係数はゼロです。 行番号が から
前に
、基底文字列の線形結合として表すことができます。 マイナー行列を考えてみましょう
、ベースマイナーから取得
行を追加する と任意の列
:

この未成年者が
から
前に
任意の列番号に対して 1から .

確かに、列番号の場合、 1から rの場合、2 つの同一の列を持つ行列式が得られますが、これは明らかに 0 に等しいです。 列番号の場合 から r+1 に 、および行番号 から
前に
、 それ
は、基底マイナーより高次の元の行列のマイナーです。これは、基底マイナーの定義からゼロに等しいことを意味します。 したがって、マイナーであることが証明されました。
どの行番号でもゼロです から
前に
任意の列番号に対して 1から 。 最後の列まで展開すると、次のようになります。

ここ
− 対応する代数加算。 気づいてください、それは
、だから、だから
基本未成年です。 したがって、この行の要素は、 k列番号に依存しない係数を使用した、基底行の対応する要素の線形結合として表すことができます。 :

したがって、行列の任意の行がその基本行の線形結合として表現できることが証明されました。 定理は証明されました。

講義13

4.9.7. 定理。 (非特異正方行列のランク上)

正方行列が特異でないためには、行列のランクがこの行列のサイズと等しいことが必要かつ十分です。

証拠：

必要性。正方行列にしてみましょう サイズ n非退化である場合、
したがって、行列の行列式は基底マイナー、つまり

適切性。させて
この場合、基底マイナーの次数は行列のサイズに等しいため、基底マイナーは行列の行列式になります。 、つまり
基本未成年者の定義による。

結果。

正方行列が特異でないためには、その行が線形独立であることが必要かつ十分です。

証拠：

必要性。正方行列は非特異であるため、そのランクは行列のサイズに等しい
つまり、行列の行列式は基底マイナーです。 したがって、マイナー基底の定理 4.9.6 により、行列の行は線形独立です。

適切性。行列のすべての行は線形独立であるため、そのランクは行列のサイズ以上になります。つまり、
したがって、前の定理 4.9.7 により、行列は 非退化である。

4.9.8. マトリックスのランクを見つけるためにマイナーを境界付ける方法。

この方法の一部は、基底マイナー定理の証明ですでに暗黙的に説明されていることに注意してください。

4.9.8.1. 意味。 マイナー
呼ばれた 国境を接している未成年者に比べて
未成年者から取得した場合
元の行列に 1 つの新しい行と 1 つの新しい列を追加します。

4.9.8.2。 境界マイナー法を使用して行列のランクを見つける手順。

ゼロ以外の行列の現在のマイナーを見つけます。

それに隣接するすべての未成年者を計算します。

それらがすべてゼロに等しい場合、現在のマイナーは基底 1 であり、行列のランクは現在のマイナーの次数に等しくなります。

境界未成年者の中にゼロ以外の者が少なくとも 1 人いる場合、それは現行とみなされ、手順が続行されます。

マイナー境界法を使用して、行列のランクを見つけます。

.

現在のゼロ以外の 2 次マイナーを指定するのは簡単です。

.

それに隣接する未成年者を計算します。

したがって、3 次のすべての境界マイナーは 0 に等しいため、マイナー
基本的なもの、つまり

コメント。 検討した例から、この方法がかなりの労力を要することは明らかです。 したがって、実際には、以下で説明する基本変換の方法がはるかに頻繁に使用されます。

4.9.9. 初等変換の方法を使用して行列のランクを見つけます。

定理 4.9.5 に基づいて、行列のランクは基本変換の下では変化しない (つまり、等価な行列のランクは等しい) と主張できます。 したがって、行列のランクは、元の行列から初等変換によって得られたステップ行列のランクと同じになります。 ステップ行列のランクは、明らかに、その非ゼロ行の数に等しくなります。

マトリックスのランクを決定しましょう

初等変換の方法で。

マトリックスを提示しましょう ステップビューへ:

結果として得られるエシェロン行列の非ゼロ行の数は 3 であるため、

4.9.10。 線形空間ベクトル系のランク。

ベクトル系を考えてみましょう
直線的な空間 。 それが線形依存している場合、その中で線形独立サブシステムを区別できます。

4.9.10.1。 意味。 ベクターシステムのランク
線形空間 このシステムの線形独立ベクトルの最大数が呼び出されます。 ベクターシステムランク
として示される
.

コメント。 ベクトル系が線形独立である場合、そのランクはシステム内のベクトルの数に等しくなります。

線形空間内のベクトル系のランクの概念と行列のランクの間の関係を示す定理を定式化してみましょう。

4.9.10.2。 定理。 (線形空間におけるベクトル系のランクについて)

線形空間におけるベクトル系のランクは、その列または行が線形空間のある基底におけるベクトルの座標である行列のランクに等しい。

証拠はありません。

結果。

線形空間内のベクトル系が線形独立であるためには、特定の基底におけるベクトルの座標を列または行とする行列のランクが次の数に等しいことが必要かつ十分です。システム内のベクトルの数。

証拠は明らかです。

4.9.10.3。 定理 (線形シェルの次元について)。

線形ハルベクトルの次元
線形空間 このベクトル システムのランクに等しい:

証拠はありません。

ここで、 はいくつかの数字です (これらの数字の一部、またはすべてがゼロに等しい場合もあります)。 これは、列の要素間に次の同等性があることを意味します。

(3.3.1) から次のことがわかります。

等式 (3.3.3) が true の場合、およびその場合に限り、行は線形独立であると呼ばれます。 関係 (3.3.2) は、行の 1 つが他の行に関して線形に表現される場合、行は線形従属であることを示しています。

逆のことは簡単にわかります。文字列が線形依存している場合、残りの文字列の線形結合となる文字列が存在します。

たとえば、(3.3.3) では、次のようになります。 .

意味。 行列 A 内で特定の r 次マイナーが識別され、同じ行列の (r+1) 次マイナーがそのマイナーを完全に含むものとします。 この場合、マイナーはマイナーに隣接している（または に隣接している）と言えます。

ここで重要な補題を証明します。

補題国境を接する未成年者について。 行列 A= の次数 r のマイナーが 0 とは異なり、それに隣接するすべてのマイナーが 0 に等しい場合、行列 A の行 (列) は、 を構成する行 (列) の線形結合になります。

証拠。 推論の一般性を失うことなく、r 次のゼロ以外のマイナーが行列 A = の左上隅にあると仮定します。

.

行列 A の最初の k 行については、補題のステートメントは明らかです。線形結合には、係数が 1 に等しい同じ行と、係数が 0 に等しい残りの行を含めるだけで十分です。

ここで、行列 A の残りの行が最初の k 行を通じて線形に表現されることを証明しましょう。 これを行うには、k 行目 () をマイナーに追加して (r+1) 次のマイナーを構築します。 私列目():

.

結果として得られるマイナーは、すべての k と l について 0 に等しくなります。 の場合、2 つの同一の列が含まれるため、ゼロに等しくなります。 の場合、結果のマイナーは のエッジマイナーであり、したがって補題の条件によりゼロに等しくなります。

マイナーを最後の要素に従って分解しましょう 私列目:

と仮定すると、次のようになります。

(3.3.6)

式(3.3.6)は、行列Aのk行目を最初のr行で線形表現することを意味する。

行列が転置されても、そのマイナーの値は（行列式の性質により）変化しないため、証明されたことはすべて列にも当てはまります。 定理は証明されました。

系 I. 行列の行 (列) は、その基本行 (列) の線形結合です。 実際、行列の基底マイナーはゼロではなく、それに隣接するすべてのマイナーはゼロに等しい。

系II。 n 次の行列式は、線形従属行 (列) が含まれる場合に限り、ゼロに等しくなります。 行列式がゼロに等しくなるための行 (列) の線形依存性が十分であることは、行列式の特性として以前に証明されました。

必要性を証明しましょう。 唯一のマイナーがゼロである n 次の正方行列が与えられるとします。 したがって、この行列のランクは n 未満、つまり この行列の基本行の線形結合である行が少なくとも 1 つあります。

行列のランクに関する別の定理を証明してみましょう。

定理。行列の線形独立行の最大数は、その線形独立列の最大数に等しく、この行列のランクに等しくなります。

証拠。 行列 A= のランクを r に等しいものとします。 その場合、その k 個の基底行のいずれも線形独立しています。そうでない場合、基底マイナーはゼロに等しくなります。 一方、r+1 行以上は線形従属です。 逆に仮定すると、前の補題の系 2 により、非ゼロである r より大きい次数のマイナーを見つけることができます。 後者は、非ゼロのマイナーの最大次数が r であるという事実と矛盾します。 行に関して証明されたことはすべて、列にも当てはまります。

最後に、行列のランクを見つけるための別の方法を概説します。 行列のランクは、ゼロとは異なる最大次数のマイナーを見つけることによって決定できます。

一見すると、これには、この行列の有限ではあるが、おそらく非常に多数のマイナーを計算する必要があります。

ただし、次の定理により、これに大幅な単純化を導入できます。

定理。行列 A のマイナーが 0 以外で、それに隣接するすべてのマイナーが 0 に等しい場合、行列のランクは r に等しくなります。

証拠。 S>r の行列行のサブシステムが定理の条件下で線形依存することを示すだけで十分です (r は線形独立行列行の最大数、または k より大きい次数のマイナーのいずれかであることがわかります)はゼロに等しい)。

逆のことを想定してみましょう。 行は線形独立であるとします。 境界マイナーに関する補題により、それらのそれぞれは、マイナーを含む線に関して線形に表現され、それらは非ゼロであるという事実により線形独立です。

ここで、次の線形結合を考えてみましょう。

または

(3.3.7) と (3.3.8) を使用すると、次のようになります。

,

これは線形行独立性と矛盾します。

したがって、私たちの仮定は正しくないため、定理の条件下の S>r 行は線形従属になります。 定理は証明されました。

この定理に基づいて、行列のランクを計算するためのルール、つまりマイナーの境界法を考えてみましょう。

行列のランクを計算するときは、より低い次数のマイナーからより高い次数のマイナーに移動する必要があります。 ゼロとは異なるｒ次のマイナーがすでに見つかっている場合、そのマイナーに隣接する（ｒ＋１）次のマイナーのみを計算する必要がある。 それらがゼロに等しい場合、行列のランクは r に等しいことになります。 この方法は、行列のランクを計算するだけでなく、どの列 (行) が行列の基底マイナーを構成するかを決定する場合にも使用されます。

例。 境界マイナー法を使用して行列のランクを計算します。

解決。 行列 A の左上隅にある 2 次マイナーはゼロ以外です。

.

ただし、それを囲む 3 次のマイナーはすべて 0 に等しくなります。

;	;
;	;
;	.

したがって、行列 A のランクは 2 に等しくなります。

この行列の 1 行目と 2 行目、1 列目と 2 列目が基本です。 残りの行と列は、それらの線形結合です。 実際、文字列については次の等式が成り立ちます。

結論として、次のプロパティの有効性を確認します。

1) 行列の積の順位が各因子の順位より大きくない。

2) 右側または左側の任意の行列 A と非特異正方行列 Q の積のランクは、行列 A のランクに等しい。

多項式行列

意味。 多項式行列または多項式行列は、要素が数値係数を持つ 1 つの変数の多項式である長方形行列です。

基本的な変換は行列に対して実行できます。 これらには次のものが含まれます。

2 つの行 (列) を再配置します。

行 (列) にゼロ以外の数値を乗算する。

ある行 (列) に別の行 (列) を加算し、任意の多項式を乗算します。

有限数の基本変換を使用して行列から に進むことができる場合、同じサイズの 2 つの行列は等しいと言われます。

例。 行列の等価性を証明する

,

.

1. マトリックスの 1 列目と 2 列目を入れ替えます。

.

2. 2 行目から最初の行を減算し、() を掛けます。

.

3. 2 行目に (-1) を掛けます。

.

4. 2 番目の列から最初の列を減算し、 を掛けると、次の結果が得られます。

.

指定されたサイズのすべての行列のセットは、等価な行列の互いに素なクラスに分割されます。 互いに等しい行列は 1 つのクラスを形成し、等価でない行列は別のクラスを形成します。

等価行列の各クラスは、指定された次元の正準行列、つまり正規行列によって特徴付けられます。

意味。 正準次元行列、つまり正規の次元行列は、主対角に多項式が含まれる行列です。ここで、p は数値 m と n の小さい方です ( )、ゼロに等しくない多項式の先行係数は 1 であり、後続の各多項式は前の多項式で除算されます。 主対角線の外側の要素はすべて 0 です。

この定義から、多項式の中に次数 0 の多項式がある場合、それらは主対角線の先頭にあることがわかります。 ゼロがある場合、それらは主対角線の端にあります。

前の例の行列は正規です。 マトリックス

正規でもあります。

-matrix の各クラスには、一意の正規の -matrix が含まれています。 すべての -matrix は、その行列の正準形式または標準形式と呼ばれる固有の正準行列と等価です。

特定の行列の正準形式の主対角線上にある多項式は、この行列の不変因子と呼ばれます。

不変因子を計算する 1 つの方法は、指定された行列を標準形式に還元することです。

したがって、前の例の行列の場合、不変因子は次のようになります。

上記のことから、不変因子の同じセットが存在することが、行列が等価であるための必要十分条件であることがわかります。

行列を正準形式に還元すると、不変因子の決定に還元されます。

, ; ,

ここで、r は行列のランクです。 - 先頭の係数を 1 として取得した、k 次のマイナーの最大公約数。

例。 与えられた -matrix とします

.

解決。 明らかに、一次の最大公約数、つまり 。

二次未成年者を定義しましょう。

,

等

これらのデータはすでに結論を導き出すのに十分です: したがって、 。

私たちは定義します

,

したがって、 .

したがって、この行列の標準形式は次の -matrix になります。

.

行列多項式は次の形式の式です。

ここで、 は変数です。 - 数値要素を含む次数 n の正方行列。

の場合、S は行列多項式の次数と呼ばれ、n は行列多項式の次数です。

任意の 2 次行列は行列多項式として表すことができます。 明らかに、その逆のステートメントも真です。 任意の行列多項式は正方行列として表すことができます。

これらのステートメントの妥当性は、行列の演算の特性から明らかです。 次の例を見てみましょう。

例。 多項式行列を表す

次のような行列多項式の形で

.

例。 行列多項式

次の多項式行列 ( -matrix ) として表すことができます。

.

行列多項式と多項式行列のこの互換性は、因子および成分分析法の数学的装置において重要な役割を果たします。

同じ次数の行列多項式は、数値係数を持つ通常の多項式と同じ方法で加算、減算、乗算できます。 ただし、一般的に言えば、行列多項式の乗算は可換ではないことを覚えておく必要があります。 行列の乗算は可換ではありません。

2 つの行列多項式は、それらの係数が等しい場合、等しいと言われます。 変数の同じべき乗に対応する行列。

2 つの行列多項式の和​​ (差) は、変数の各次数の係数が多項式 および の同じ次数の係数の和 (差) に等しい行列多項式です。

行列多項式と行列多項式を乗算するには、行列多項式の各項と行列多項式の各項を乗算し、結果の積を加算して類似の項を得る必要があります。

行列多項式の次数は、因子の次数の合計以下の積です。

行列多項式の演算は、対応する -matrics の演算を使用して実行できます。

行列多項式を加算 (減算) するには、対応する -matrics を加算 (減算) するだけで十分です。 乗算についても同様です。 行列多項式の積の行列は、因子の行列の積に等しい。

一方、 と次の形式で書くことができます。

ここで、B 0 は非特異行列です。

で割ると、一意の右商と右余りが存在します。

ここで、 R 1 の次数が 次数 、または (剰余なしの除算) より小さい場合、および次の場合に限り、左商と左剰余が計算されます。

サイズが mxn の、必ずしも正方形ではない任意の行列 A を考えてみましょう。

マトリックスのランク。

行列のランクの概念は、行列の行 (列) の線形依存 (独立) の概念に関連付けられています。 この概念を文字列について考えてみましょう。 列の場合も同様です。

行列 A のドレインを表します。

e 1 =(a 11,a 12,…,a 1n); e 2 =(a 21,a 22,…,a 2n);…, e m =(a m1,a m2,…,a mn)

a kj =a sj 、j=1,2,…,n の場合、 e k =es

行列の行に対する算術演算 (加算、数値による乗算) は、要素ごとに実行される演算として導入されます。

e k +е s =[(a k1 +a s1),(a k2 +a s2),…,(a kn +a sn)]。

行eが呼び出されます 線形結合行 e 1、e 2、…、ek、これらの行と任意の実数の積の合計に等しい場合:

e=λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ k e k

行 e 1、e 2、…、em は呼び出されます。 線形依存性、すべてがゼロに等しいわけではない実数 λ 1 ,λ 2 ,…,λ m がある場合、これらの文字列の線形結合はゼロ文字列と等しくなります: λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+λ m e m = 0 、どこ 0 =(0,0,…,0) (1)

すべての係数 λ i がゼロに等しい場合 (λ 1 =λ 2 =...=λ m =0)、線形結合がゼロに等しい場合、行 e 1、e 2、...、私たちは呼ばれています 線形的に独立しています。

定理1。 文字列 e 1 、e 2 、…、e m が線形従属であるためには、これらの文字列の 1 つが残りの文字列の線形結合であることが必要かつ十分です。

証拠. 必要性。 文字列 e 1、e 2、…、em が線形従属であるとします。 念のため言っておきますが、 (1) λ m ≠0 の場合

それ。 文字列 e m は、残りの文字列の線形結合です。 等。

適切性。 文字列の 1 つ (e m など) を残りの文字列の線形結合とします。 次に、等号が成り立つような数値があり、次の形式で書き換えることができます。

ここで、係数の少なくとも 1 つ (-1) はゼロに等しくありません。 それらの。 行は線形依存しています。 等。

意味。 マイナー k 次オーダーサイズ mxn の行列 A は、行列 A の任意の k 行と任意の k 列の交点にある要素を持つ k 次行列式と呼ばれます (k≤min(m,n))。 。

例。、第 1 順位未成年者: =、=;

2次未成年者: 、3次

3 次行列には 9 つの 1 次マイナー、9 つの 2 次マイナー、および 1 つの 3 次マイナー (この行列の行列式) があります。

意味。 行列 A のランクは、この行列の非ゼロのマイナーの最高次数です。 指定 - rg A または r(A)。

行列のランクのプロパティ.

1) 行列 A nxm のランクは、その次元の小さい方を超えません。つまり、

r(A)≤min(m,n)。

2) すべての行列要素が 0 に等しい場合、r(A)=0。つまり、 A=0。

3) n 次の正方行列 A の場合、r(A)=n、A が非縮退の場合。

(対角行列のランクは、その非ゼロの対角要素の数に等しい)。

4) 行列のランクが r に等しい場合、行列には​​ 0 に等しくない次数 r のマイナーが少なくとも 1 つあり、より高い次数のマイナーはすべて 0 に等しくなります。

マトリックスのランクには次の関係が当てはまります。

2) r(A+B)≤r(A)+r(B)。 3) r(AB)≤min(r(A),r(B));

3) r(A+B)≧|r(A)-r(B)|; 4) r(A T A)=r(A);

5) r(AB)=r(A)、B が正方非特異行列の場合。

6) r(AB)≥r(A)+r(B)-n、n は行列 A の列数または行列 B の行数です。

意味。次数 r(A) のゼロ以外のマイナーが呼び出されます 基本マイナー。 (行列 A には複数の基底マイナーが含まれる場合があります)。 基底マイナーがある交点にある行と列をそれぞれ呼びます。 基本文字列そして ベースカラム.

定理 2 (基底マイナーについて)。基礎となる行 (列) は線形に独立しています。 行列 A の任意の行 (任意の列) は、基底行 (列) の線形結合です。

証拠。 (文字列の場合)。 基本行が線形従属である場合、定理 (1) によれば、これらの行の 1 つは他の基本行の線形結合となり、基本マイナーの値を変更せずに、指定された線形結合をこの行から減算できます。これは、基底マイナーがゼロとは異なるという事実と矛盾します。 それ。 基底行は線形独立です。

行列 A の任意の行が基底行の線形結合であることを証明しましょう。 なぜなら 行 (列) を任意に変更しても、行列式はゼロに等しいという性質を保持します。その場合、一般性を失うことなく、マイナー基底が行列の左上隅にあると仮定できます。

あ=、それらの。 最初の r 行、最初の r 列にあります。 1ポンドjポンド、1ポンドiポンドとしましょう。 (r+1) 次の行列式が成り立つことを示しましょう。

j£r または i£r の場合、この行列式はゼロに等しくなります。 2 つの同一の列または 2 つの同一の行が含まれます。

j>r かつ i>r の場合、この行列式は行列 A の (r+1) 次のマイナーになります。 行列のランクは r です。これは、より高い次数のマイナーは 0 に等しいことを意味します。

最後の (追加された) 列の要素に従って展開すると、次のようになります。

a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a rj A rj +a ij A ij =0、ここで最後の代数補数 A ij は基底マイナー M r と一致するため、A ij = M r ≠0。

最後の等式を A ij で割ると、要素 a ij を線形結合として表すことができます。

i の値 (i>r) を固定し、任意の j (j=1,2,...,n) について、i 番目の行 e i の要素が行 e の要素を通じて線形表現されることを確認しましょう。 1、e 2、...、er、つまり e。 i 番目の行は、基底行の線形結合です: 。 等。

定理 3. (行列式がゼロに等しいための必要十分条件)。 n 次の行列式 D がゼロになるためには、その行 (列) が線形従属であることが必要かつ十分です。

証明（p.40）. 必要性。 n 次の行列式 D がゼロに等しい場合、その行列の基底マイナーは次数 r になります。

したがって、1 つの行は他の行の線形結合になります。 次に、定理 1 により、行列式の行は線形従属になります。

適切性。 行 D が線形従属である場合、定理 1 により、1 つの行 A i は残りの行の線形結合になります。 D の値を変更せずに文字列 A i から指定された線形結合を減算すると、ゼロの文字列が得られます。 したがって、行列式の性質によれば、D=0 となります。 等

定理4.基本的な変換中、行列のランクは変化しません。

証拠。 行列式の性質を考えるときに示したように、正方行列を変換すると、行列式は変化しないか、ゼロ以外の数が乗算されるか、符号が変わります。 この場合、元の行列の非ゼロのマイナーの最高次数が保存されます。 マトリックスのランクは変わりません。 等。

r(A)=r(B) の場合、A と B は次のようになります。 相当：A～B。

定理5.基本変換を使用すると、行列を次のように縮小できます。 階段状の眺め。マトリックスはと呼ばれます 段階的に、次の形式の場合:

A=、a ii ≠0、i=1,2,…,r; r≦k。

r≤k という条件は、転置によって常に達成できます。

定理6.エシェロン行列のランクは、その非ゼロ行の数に等しい .

それらの。 ステップ行列のランクは r に等しいため、 次数 r の非ゼロのマイナーがあります: